Três massas são suspensas verticalmente por uma série de molas idênticas onde a massa 1 está localizada no topo e a massa 3 está na parte inferior. Considerando g e a rigidez das molas são , resolva os deslocamentos (Resolver o sistema utilizando o método de Jacobi e compare a solução com o método de Cholesky).
Passo 1
Beleza, aqui a questão é: temos três massas (m₁, m₂, m₃) penduradas em série por molas idênticas de constante k. Cada massa sofre seu peso (m g) e a mola acima e/ou abaixo puxa ela pra cima ou pra baixo. O que queremos é o deslocamento estático x₁, x₂ e x₃ de cada massa.
Conteúdo: sistema de equações lineares; método iterativo de Jacobi; fatoração de Cholesky.
O que vamos precisar:
Montar as equações de equilíbrio (∑F=0) e escrever na forma A x = b.
Aplicar Jacobi pra achar x iterativamente.
Fazer Cholesky (A = L Lᵀ) e resolver diretamente, comparando resultados.
Passo 2
a) Equilíbrio de forças
Para cada massa i vale ∑F=0 (para baixo positivo):
Massa 1: k·x₁ (mola de cima) puxa pra cima e k·(x₂–x₁) puxa pra baixo, mais peso m₁g pra baixo.
→ –k x₁ + k(x₂–x₁) – m₁g = 0
→ 2k x₁ – k x₂ = m₁g
Massa 2: k(x₂–x₁) pra cima, –k(x₃–x₂) pra baixo, –m₂g.
→ k(x₂–x₁) – k(x₃–x₂) – m₂g = 0
→ –k x₁ + 2k x₂ – k x₃ = m₂g
Massa 3: k(x₃–x₂) pra cima, –m₃g.
→ k(x₃–x₂) – m₃g = 0
→ –k x₂ + k x₃ = m₃g
b) Montando A x = b
Com k=10 N/m e g=9,81 m/s²:
b = ᵀ = ᵀ = ᵀ
A =
[
]
Passo 3
Método de Jacobi (teoria): para A x=b, escrevemos
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumjneq iaij,xj^(k)r)
Aqui D contém os a_{ii} e R = A-D. Se a matriz for diagonal-dominante, converge.
Escolhendo x^{(0)}=(0,0,0) e tolerância de 10⁻³, a iteração fica:
x₁^{(k+1)} = (19,62 +10·x₂^{(k)})/20
x₂^{(k+1)} = (29,43 +10·x₁^{(k)} +10·x₃^{(k)})/20
x₃^{(k+1)} = (24,525 +10·x₂^{(k)})/10