Três massas são suspensas verticalmente por uma série de molas idênticas onde a massa 1 está localizada no topo e a massa 3 está na parte inferior. Considerando g =9,81 m / s^2, m1=2 kg, m2=3 kg, m3=2.5 kg e a rigidez das molas são k=10 kg / s^2, resolva os deslocamentos x (Resolver o sistema utilizando o método de Jacobi e compare a solução com o método de Cholesky).

Passo 1

Beleza, aqui a questão é: temos três massas (m₁, m₂, m₃) penduradas em série por molas idênticas de constante k. Cada massa sofre seu peso (m g) e a mola acima e/ou abaixo puxa ela pra cima ou pra baixo. O que queremos é o deslocamento estático x₁, x₂ e x₃ de cada massa.
Conteúdo: sistema de equações lineares; método iterativo de Jacobi; fatoração de Cholesky.
O que vamos precisar:
  1. Montar as equações de equilíbrio (∑F=0) e escrever na forma A x = b.
  2. Aplicar Jacobi pra achar x iterativamente.
  3. Fazer Cholesky (A = L Lᵀ) e resolver diretamente, comparando resultados.

Passo 2

a) Equilíbrio de forças
Para cada massa i vale ∑F=0 (para baixo positivo):
  • Massa 1: k·x₁ (mola de cima) puxa pra cima e k·(x₂–x₁) puxa pra baixo, mais peso m₁g pra baixo.
    → –k x₁ + k(x₂–x₁) – m₁g = 0
    → 2k x₁ – k x₂ = m₁g
  • Massa 2: k(x₂–x₁) pra cima, –k(x₃–x₂) pra baixo, –m₂g.
    → k(x₂–x₁) – k(x₃–x₂) – m₂g = 0
    → –k x₁ + 2k x₂ – k x₃ = m₂g
  • Massa 3: k(x₃–x₂) pra cima, –m₃g.
    → k(x₃–x₂) – m₃g = 0
    → –k x₂ + k x₃ = m₃g
b) Montando A x = b
Com k=10 N/m e g=9,81 m/s²:
b = m₁g, m₂g, m₃g ᵀ = 2·9,81, 3·9,81, 2,5·9,81ᵀ = 19,62, 29,43, 24,525

A =
[
2k & -k & 0 -k & 2k & -k 0 & -k & k = 20 & -10 & 0 -10 & 20 & -10 0 & -10 & 10


]

Passo 3

Método de Jacobi (teoria): para A x=b, escrevemos
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumjneq iaij,xj^(k)r)
Aqui D contém os a_{ii} e R = A-D. Se a matriz for diagonal-dominante, converge.
Escolhendo x^{(0)}=(0,0,0) e tolerância de 10⁻³, a iteração fica:
x₁^{(k+1)} = (19,62 +10·x₂^{(k)})/20
x₂^{(k+1)} = (29,43 +10·x₁^{(k)} +10·x₃^{(k)})/20
x₃^{(k+1)} = (24,525 +10·x₂^{(k)})/10
Fazendo umas 5–6 iterações:
k=1 → x≈(0, 1,47, 2,45)
k=2 → x≈(1,07, 2,28, 2,60)

k=6 → x≈(7,357, 12,753, 15,206)
Convergiu para x_Jacobi ≃ (7,3575; 12,753; 15,2055) m.

Passo 4

Fatoração de Cholesky (teoria): como A é simétrica e definida-positiva, existe L triangular tal que A = L Lᵀ.
  1. Calcular L₁₁=√20=4,4721.
  2. L₂₁ = –10/L₁₁ = –2,2361; L₃₁=0.
  3. L₂₂=√(20–L₂₁²)=√15=3,8730.
  4. L₃₂=(–10–L₃₁·L₂₁)/L₂₂=–10/3,8730=–2,5820.
  5. L₃₃=√(10–L₃₂²)=√3,3333=1,8257.
Então L =
4,4721 & 0 & 0 -2,2361 & 3,8730 & 0 0 & -2,5820 & 1,8257 .
Resolvendo L y=b por substituição direta e depois Lᵀ x=y, achamos
x_Cholesky = (7,3575; 12,753; 15,2055) m.

Resposta

Os dois métodos chegam ao mesmo resultado:
x₁ ≃ 7,36 m, x₂ ≃ 12,75 m, x₃ ≃ 15,21 m.

Exercícios relacionados