Três moedas não-viciadas são lançadas. Se ocorrem caras e coroas, determine a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara.

Passo 1

O enunciado dá três moedas não-viciadas (justo: caras ou coroas com mesma probabilidade) e pede a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara quando as três moedas são lançadas. Informações relevantes:
  • São lançadas 3 moedas.
  • Cada moeda é não-viciada: \;P(\text{cara})=\tfrac12 e \;P(\text{coroa})=\tfrac12.
  • Presume-se que os lançamentos são independentes (o resultado de uma moeda não afeta as outras).
  • O que se quer: P(\text{exatamente uma cara}).

Passo 2

Construir o espaço amostral e contar resultados possíveis. Cada moeda tem 2 resultados possíveis, e com 3 moedas o número total de resultados é
2^3 = 8.
O espaço amostral pode ser listado como
\{ HHH,\, HHT,\, HTH,\, THH,\, HTT,\, THT,\, TTH,\, TTT \},
onde H = cara e T = coroa.

Passo 3

Identificar os resultados favoráveis (exatamente uma cara). São os resultados com um único H:
\{ HTT,\, THT,\, TTH \}.
Há exatamente 3 resultados favoráveis.

Passo 4

Calcular a probabilidade de cada sequência específica. Como os lançamentos são independentes e cada face tem probabilidade \tfrac12, a probabilidade de uma sequência qualquer com três resultados (por exemplo HTT) é
P(HTT)=P(H)\cdot P(T)\cdot P(T)=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18.
O mesmo vale para THT e TTH: cada uma tem probabilidade \tfrac18.

Passo 5

Somar as probabilidades dos resultados favoráveis (ou multiplicar o número de favoráveis pela probabilidade de cada um). Assim
P(\text{exatamente uma cara}) = 3\cdot\frac18=\frac{3}{8}.
Como alternativa rápida usando a fórmula binomial: se X é o número de caras em 3 lançamentos,
P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^{2}=\binom{3}{1}\left(\frac12\right)^3=3\cdot\frac18=\frac{3}{8}.

Resposta

\frac{3}{8}

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