4.34 Um homem tem em sua mão 5 cartas vermelhas de um baralho comum de 52 cartas. Qual é a probabilidade de elas serem todas do mesmo naipe, isto é, copas ou ouros?

Passo 1

O enunciado dá que o homem tem na mão 5 cartas vermelhas (ou seja, todas as cartas que ele segurou são vermelhas). As perguntas são:
  • Qual é a probabilidade de essas 5 cartas serem todas do mesmo naipe (ou seja, todas copas ou todas ouros)?
Informações relevantes do enunciado:
  • Um baralho comum tem 52 cartas.
  • Há 26 cartas vermelhas no baralho: 13 copas e 13 ouros.
  • Sabemos que as 5 cartas são vermelhas (condição dada). Queremos a probabilidade condicional, dentro do universo das 5 cartas todas vermelhas, de que elas sejam todas do mesmo naipe.

Passo 2

Modelagem combinatória do espaço amostral (tudo em quebras de contagem): como estamos condicionando ao fato de as 5 cartas serem vermelhas, o espaço amostral consiste em todas as maneiras de escolher 5 cartas dentre as 26 cartas vermelhas. O número de maneiras de escolher k objetos entre n sem ordem é dado pela combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
Portanto o número total de mãos possíveis (dadas as 5 vermelhas) é
\binom{26}{5}.

Passo 3

Contagem das mãos favoráveis (todas do mesmo naipe): elas podem ser todas copas ou todas ouros. O número de maneiras de escolher 5 cartas todas copas é \binom{13}{5}; idem para ouros. Como esses dois casos são mutuamente exclusivos, o total favorável é
2\binom{13}{5}.
Assim a probabilidade desejada é
P=\frac{2\binom{13}{5}}{\binom{26}{5}}.

Passo 4

Cálculo explícito das combinações para obter um número:
Calcule \binom{13}{5}:
\binom{13}{5}=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} =\frac{154440}{120}=1287.
Calcule \binom{26}{5}:
\binom{26}{5}=\frac{26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} =\frac{7\,893\,600}{120}=65\,780.
Substituindo:
P=\frac{2\cdot1287}{65\,780}=\frac{2574}{65\,780}.

Passo 5

Simplificação da fração:
Dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{2574}{65\,780}=\frac{1287}{32\,890}.
Agora observe que 1287=3^2\cdot11\cdot13 e 32\,890=11\cdot2\,990. Dividindo por 11:
\frac{1287}{32\,890}=\frac{117}{2\,990}.
Dividindo por 13 (já que 117=9\cdot13 e 2\,990=13\cdot230):
\frac{117}{2\,990}=\frac{9}{230}.
Portanto a probabilidade simplificada é \dfrac{9}{230}. Como referência numérica,
\dfrac{9}{230}\approx 0,03913\quad\text{(ou cerca de \(3{,}913\%\)).}

Passo 6

Verificação alternativa (razão condicional passo a passo, sem usar combinações): suponha que as 5 cartas vermelhas estão dadas em ordem de retirada. A primeira pode ser copas ou ouros, sem restrição. Para que todas sejam do mesmo naipe, os quatro sorteios seguintes devem ficar no mesmo naipe do primeiro; as probabilidades condicionais são
\frac{12}{25},\\ \frac{11}{24},\\ \frac{10}{23},\\ \frac{9}{22}.
Multiplicando:
1\cdot\frac{12}{25}\cdot\frac{11}{24}\cdot\frac{10}{23}\cdot\frac{9}{22} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{25\cdot24\cdot23\cdot22} =\frac{11880}{303600}=\frac{9}{230},
o que confirma o resultado obtido por contagem.

Resposta

\dfrac{9}{230}\approx 0,03913

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