4.34 Um homem tem em sua mão 5 cartas vermelhas de um baralho comum de 52 cartas. Qual é a probabilidade de elas serem todas do mesmo naipe, isto é, copas ou ouros?
Passo 1
O enunciado dá que o homem tem na mão 5 cartas vermelhas (ou seja, todas as cartas que ele segurou são vermelhas). As perguntas são:
- Qual é a probabilidade de essas 5 cartas serem todas do mesmo naipe (ou seja, todas copas ou todas ouros)?
Informações relevantes do enunciado:
- Um baralho comum tem 52 cartas.
- Há 26 cartas vermelhas no baralho: 13 copas e 13 ouros.
- Sabemos que as 5 cartas são vermelhas (condição dada). Queremos a probabilidade condicional, dentro do universo das 5 cartas todas vermelhas, de que elas sejam todas do mesmo naipe.
Passo 2
Modelagem combinatória do espaço amostral (tudo em quebras de contagem): como estamos condicionando ao fato de as 5 cartas serem vermelhas, o espaço amostral consiste em todas as maneiras de escolher 5 cartas dentre as 26 cartas vermelhas. O número de maneiras de escolher
objetos entre
sem ordem é dado pela combinação
onde
(fatorial) significa
.
Portanto o número total de mãos possíveis (dadas as 5 vermelhas) é
Passo 3
Contagem das mãos favoráveis (todas do mesmo naipe): elas podem ser todas copas ou todas ouros. O número de maneiras de escolher 5 cartas todas copas é
; idem para ouros. Como esses dois casos são mutuamente exclusivos, o total favorável é
Assim a probabilidade desejada é
Passo 4
Cálculo explícito das combinações para obter um número:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Substituindo:
Passo 5
Simplificação da fração:
Dividindo numerador e denominador por :
Dividindo numerador e denominador por
Agora observe que
e
. Dividindo por
:
Dividindo por
(já que
e
):
Portanto a probabilidade simplificada é
. Como referência numérica,
Passo 6
Verificação alternativa (razão condicional passo a passo, sem usar combinações): suponha que as 5 cartas vermelhas estão dadas em ordem de retirada. A primeira pode ser copas ou ouros, sem restrição. Para que todas sejam do mesmo naipe, os quatro sorteios seguintes devem ficar no mesmo naipe do primeiro; as probabilidades condicionais são
Multiplicando:
o que confirma o resultado obtido por contagem.