Três ondas harmônicas são dadas pelas funções:
A superposição dessas três ondas resulta numa onda harmônica de amplitude
A. Determine o valor de
, com duas casas decimais.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado dá três ondas harmônicas que dependem de
e
e pede o fator
tal que a superposição das três ondas tenha amplitude
. Os dados são:
As perguntas explícitas: determinar o valor numérico de
com duas casas decimais, tal que a soma
seja uma onda harmônica de amplitude
.
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- Todas as três ondas têm a mesma fase dependente
(observe que em a independência aparece como , que é , e usaremos a paridade do cosseno). - Os coeficientes numéricos são
(em multiplicando ), (em ) e (em ). - O deslocamento de fase em
é radianos. - Precisamos transformar a soma em uma única onda harmônica do tipo
e extrair .]
Passo 2
Vamos simplificar a forma das ondas usando uma variável de fase comum. Defina
Reescrevendo cada termo em função de
:
Agora use a identidade
(paridade do cosseno). Assim
Passo 3
Escreva a soma total
em função de
:
Para combinar termos, use a identidade do cosseno somado:
Substituindo,
Passo 4
Interpretando geometricamente: a expressão dentro dos colchetes é da forma
com
Qualquer combinação linear
pode ser escrita como um único cosseno com amplitude
:
onde
Aqui
é o fator multiplicativo da amplitude (ou seja,
), e
é o deslocamento de fase (não pedido). Vou explicar a fórmula de
: trata-se do módulo do vetor bidimensional
; a transformação para uma única função harmônica corresponde a somar vetores complexos/phasors.
Passo 5
Para evitar calcular
e
e depois somar quadrados na forma direta, note uma simplificação útil: se
e
, então
Expandindo e usando
, obtemos
Esta forma reduz erros numéricos porque evita subtrações de números próximos.]
Passo 6
Agora calcule numericamente usando os valores de seno e cosseno em radianos para
rad:
Substituindo nas expressões:
Somando as partes constantes:
Subtraindo os termos com cosseno e seno:
Passo 7
Calcule a diferença:
Portanto a amplitude relativa ao fator
é
Passo 8
Calcule a raiz quadrada. Aproximando:
Arredondando para duas casas decimais (regra usual de arredondamento), obtemos