Três ondas harmônicas são dadas pelas funções:
\begin{aligned} & y_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t+1,2) \\\ & y_{2}(x, t)=-2,7 A \cos (\omega t-k x) \\\ & y_{3}(x, t)=0,6 A \operatorname{sen}(k x-\omega t) \end{aligned}
A superposição dessas três ondas resulta numa onda harmônica de amplitude \mathbf{n} A. Determine o valor de \mathbf{n}, com duas casas decimais.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado dá três ondas harmônicas que dependem de x e t e pede o fator \mathbf{n} tal que a superposição das três ondas tenha amplitude \mathbf{n}A. Os dados são:
\begin{aligned} & y_{1}(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t+1{,}2\bigr),\\[4pt] & y_{2}(x,t)=-2{,}7A\cos\bigl(\omega t-kx\bigr),\\[4pt] & y_{3}(x,t)=0{,}6A\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t\bigr). \end{aligned}
As perguntas explícitas: determinar o valor numérico de \mathbf{n} com duas casas decimais, tal que a soma y(x,t)=y_1+y_2+y_3 seja uma onda harmônica de amplitude \mathbf{n}A.
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • Todas as três ondas têm a mesma fase dependente \theta=kx-\omega t (observe que em y_2 a independência aparece como \omega t-kx, que é -\theta, e usaremos a paridade do cosseno).
  • Os coeficientes numéricos são 1 (em y_1 multiplicando A), -2{,}7 (em y_2) e 0{,}6 (em y_3).
  • O deslocamento de fase em y_1 é \,1{,}2 radianos.
  • Precisamos transformar a soma em uma única onda harmônica do tipo (\mathbf{n}A)\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr) e extrair \mathbf{n}.]

Passo 2

Vamos simplificar a forma das ondas usando uma variável de fase comum. Defina
\theta = kx-\omega t.
Reescrevendo cada termo em função de \theta:
\begin{aligned} & y_{1}(x,t)=A\cos\bigl(\theta+1{,}2\bigr),\\[4pt] & y_{2}(x,t)=-2{,}7A\cos\bigl(-\theta\bigr),\\[4pt] & y_{3}(x,t)=0{,}6A\sin\bigl(\theta\bigr). \end{aligned}
Agora use a identidade \cos(-\theta)=\cos\theta (paridade do cosseno). Assim
y_{2}(x,t)=-2{,}7A\cos\theta.]

Passo 3

Escreva a soma total y=y_1+y_2+y_3 em função de \theta:
y(\theta)=A\cos\bigl(\theta+1{,}2\bigr)-2{,}7A\cos\theta+0{,}6A\sin\theta.
Para combinar termos, use a identidade do cosseno somado:
\cos\bigl(\theta+1{,}2\bigr)=\cos\theta\cos1{,}2-\sin\theta\sin1{,}2.
Substituindo,
\begin{aligned} y(\theta)&=A\bigl(\cos\theta\cos1{,}2-\sin\theta\sin1{,}2\bigr)-2{,}7A\cos\theta+0{,}6A\sin\theta\\[4pt] &=A\Bigl[\cos\theta\bigl(\cos1{,}2-2{,}7\bigr)+\sin\theta\bigl(-\sin1{,}2+0{,}6\bigr)\Bigr]. \end{aligned}]

Passo 4

Interpretando geometricamente: a expressão dentro dos colchetes é da forma
C\cos\theta + S\sin\theta
com
C=\cos1{,}2-2{,}7,\qquad S=-\sin1{,}2+0{,}6.
Qualquer combinação linear C\cos\theta+S\sin\theta pode ser escrita como um único cosseno com amplitude R:
C\cos\theta+S\sin\theta = R\cos\bigl(\theta-\varphi\bigr),
onde
R=\sqrt{C^{2}+S^{2}}.
Aqui R é o fator multiplicativo da amplitude (ou seja, \mathbf{n}=R), e \varphi é o deslocamento de fase (não pedido). Vou explicar a fórmula de R: trata-se do módulo do vetor bidimensional (C,S); a transformação para uma única função harmônica corresponde a somar vetores complexos/phasors.

Passo 5

Para evitar calcular C e S e depois somar quadrados na forma direta, note uma simplificação útil: se C=\cos1{,}2-2{,}7 e S=-\sin1{,}2+0{,}6, então
C^{2}+S^{2}=(\cos1{,}2-2{,}7)^{2}+(-\sin1{,}2+0{,}6)^{2}.
Expandindo e usando \cos^{2}1{,}2+\sin^{2}1{,}2=1, obtemos
\begin{aligned} C^{2}+S^{2} &= \cos^{2}1{,}2+\sin^{2}1{,}2 + 2{,}7^{2}+0{,}6^{2} -2\cdot 2{,}7\cos1{,}2 -2\cdot 0{,}6\sin1{,}2\\[4pt] &=1 + (2{,}7)^{2} + (0{,}6)^{2} - 2\cdot 2{,}7\cos1{,}2 - 2\cdot 0{,}6\sin1{,}2. \end{aligned}
Esta forma reduz erros numéricos porque evita subtrações de números próximos.]

Passo 6

Agora calcule numericamente usando os valores de seno e cosseno em radianos para 1{,}2 rad:
\cos1{,}2\approx 0{,}3623577544766736,\qquad \sin1{,}2\approx 0{,}9320390859672263.
Substituindo nas expressões:
\begin{aligned} (2{,}7)^{2}&=7{,}29,\\[4pt] (0{,}6)^{2}&=0{,}36,\\[4pt] 2\cdot 2{,}7\cos1{,}2&=5{,}4\cdot\cos1{,}2\approx 5{,}4\times 0{,}3623577544766736\approx 1{,}9567318741740374,\\[4pt] 2\cdot 0{,}6\sin1{,}2&=1{,}2\cdot\sin1{,}2\approx 1{,}2\times 0{,}9320390859672263\approx 1{,}1184469031606715. \end{aligned}
Somando as partes constantes:
1 + 7{,}29 + 0{,}36 = 8{,}65.
Subtraindo os termos com cosseno e seno:
C^{2}+S^{2} \approx 8{,}65 - 1{,}9567318741740374 - 1{,}1184469031606715.]

Passo 7

Calcule a diferença:
\begin{aligned} 1{,}9567318741740374 + 1{,}1184469031606715 &= 3{,}0751787773347089,\\[4pt] C^{2}+S^{2} &\approx 8{,}65 - 3{,}0751787773347089 = 5{,}5748212226652911. \end{aligned}
Portanto a amplitude relativa ao fator A é
\mathbf{n}=R=\sqrt{C^{2}+S^{2}}\approx\sqrt{5{,}5748212226652911}.]

Passo 8

Calcule a raiz quadrada. Aproximando:
\sqrt{5{,}5748212226652911}\approx 2{,}361106\ldots
Arredondando para duas casas decimais (regra usual de arredondamento), obtemos
\mathbf{n}\approx 2{,}36.

Resposta

2{,}36

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