Trés ondas harmónicas săo dadas pelas funções:
y_{1}(x, t)=A \cos (k x \cdot \omega t+1.5)
y_{2}(x, t)=-9,7 A \cos (\omega t-k x)
y_{z}(x, t)=0,9 A \operatorname{sen}(k x-\omega t).
A superposição dessas trés ondas resulta numa onda harmönica de amplitude n A.Determine o valor de n.com duas casas decimais.
Resposta: \_\_\_\_
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Passo 1

O enunciado dá três ondas harmónicas e pede a amplitude da onda resultante da superposição, expressa como nA. Queremos determinar o valor numérico de n com duas casas decimais. Dados fornecidos:
y_{1}(x,t)=A\cos(\,kx-\omega t+1{,}5\,),
y_{2}(x,t)=-9{,}7\,A\cos(\,\omega t-kx\,),
y_{3}(x,t)=0{,}9\,A\operatorname{sen}(\,kx-\omega t\,).
Observações extraídas do enunciado: todos os argumentos envolvem kx e \omega t; os números 1{,}5, -9{,}7 e 0{,}9 estão em radianos (ou são adimensionais) e as vírgulas são decimais. A tarefa: somar essas três ondas e achar o módulo da amplitude resultante, ou seja, encontrar n tal que amplitude total =nA.

Passo 2

Primeiro é conveniente escrever todas as ondas com o mesmo argumento básico \theta = kx-\omega t e expressá-las como cossenos com fases (isso facilita a soma).
Explicação rápida (identidades úteis):
\cos(\omega t-kx)=\cos(-(kx-\omega t))=\cos(kx-\omega t),
pois \cos é função par; e
\operatorname{sen}(\theta)=\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right).
Também -\cos(\theta)=\cos(\theta+\pi).
Agora reescrevemos cada onda:
y_1(x,t)=A\cos(\theta+1{,}5).
Para y_2 usamos \cos(\omega t-kx)=\cos(\theta) e o fator -9{,}7:
y_2(x,t)=-9{,}7\,A\cos(\theta)=9{,}7\,A\cos(\theta+\pi).
Para y_3 usamos \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-\pi/2):
y_3(x,t)=0{,}9\,A\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right).

Passo 3

Agora explico o método dos fasores (ou soma de vetores complexos), que é o jeito padrão e prático para somar harmónicas com mesma frequência:
  • Cada termo B\cos(\theta+\varphi) corresponde a um fasor complexo B e^{i\varphi} (tomando a parte real de B e^{i(\theta+\varphi)}). Somando as ondas é equivalente a somar os fasores e depois tomar o módulo do resultado para obter a amplitude.
    Portanto os fasores relativos (divididos por A) são:
F_1 = e^{i\cdot 1{,}5}, \qquad F_2 = 9{,}7\,e^{i\pi}, \qquad F_3 = 0{,}9\,e^{-i\pi/2}.
A soma fasorial (dividida por A) é
S = F_1 + F_2 + F_3 = e^{i1{,}5}+9{,}7\,e^{i\pi}+0{,}9\,e^{-i\pi/2}.
A amplitude resultante normalizada por A é n=|S|.

Passo 4

Transformamos cada exponencial em partes real e imaginária usando e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.
Calculemos cada parte:
e^{i1{,}5}=\cos(1{,}5)+i\sin(1{,}5).
Usando valores numéricos (em radianos):
\cos(1{,}5)\approx 0{,}0707372017,\qquad \sin(1{,}5)\approx 0{,}9974949866.
Também
e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1+ i\cdot 0,
e^{-i\pi/2}=\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=0 - i.
Multiplicando pelos coeficientes:
F_1 \approx 0{,}0707372017 + i\,0{,}9974949866,
F_2 = 9{,}7(-1+0i) = -9{,}7 + i\cdot 0,
F_3 = 0{,}9(0 - i)= -i\,0{,}9 = 0 - i\,0{,}9.
Somando as partes real e imaginária separadamente:
parte real:
\Re(S)=0{,}0707372017 - 9{,}7 = -9{,}6292627983,
parte imaginária:
\Im(S)=0{,}9974949866 - 0{,}9 = 0{,}0974949866.

Passo 5

A amplitude normalizada n é o módulo do número complexo S:
n=|S|=\sqrt{\bigl(\Re(S)\bigr)^2+\bigl(\Im(S)\bigr)^2}.
Substituindo os valores:
n\approx\sqrt{(-9{,}6292627983)^2+(0{,}0974949866)^2}.
Calculando:
(-9{,}6292627983)^2\approx 92{,}72270183898,
(0{,}0974949866)^2\approx 0{,}0095052724,
n\approx\sqrt{92{,}73220711138}\approx 9{,}629786\ldots
Arredondando para duas casas decimais, obtemos n\approx 9{,}63.

Resposta

n=9{,}63

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