Trés ondas harmónicas săo dadas pelas funções:
,
.
.
A superposição dessas trés ondas resulta numa onda harmönica de amplitude n A.Determine o valor de n.com duas casas decimais.
Resposta:
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A superposição dessas trés ondas resulta numa onda harmönica de amplitude n A.Determine o valor de n.com duas casas decimais.
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Passo 1
O enunciado dá três ondas harmónicas e pede a amplitude da onda resultante da superposição, expressa como
. Queremos determinar o valor numérico de
com duas casas decimais. Dados fornecidos:
Observações extraídas do enunciado: todos os argumentos envolvem
e
; os números
,
e
estão em radianos (ou são adimensionais) e as vírgulas são decimais. A tarefa: somar essas três ondas e achar o módulo da amplitude resultante, ou seja, encontrar
tal que amplitude total
.
Passo 2
Primeiro é conveniente escrever todas as ondas com o mesmo argumento básico
e expressá-las como cossenos com fases (isso facilita a soma).
Explicação rápida (identidades úteis):
Explicação rápida (identidades úteis):
pois
é função par; e
Também
.
Agora reescrevemos cada onda:
Agora reescrevemos cada onda:
Para
usamos
e o fator
:
Para
usamos
:
Passo 3
Agora explico o método dos fasores (ou soma de vetores complexos), que é o jeito padrão e prático para somar harmónicas com mesma frequência:
- Cada termo
corresponde a um fasor complexo (tomando a parte real de ). Somando as ondas é equivalente a somar os fasores e depois tomar o módulo do resultado para obter a amplitude.
Portanto os fasores relativos (divididos por) são:
A soma fasorial (dividida por
) é
A amplitude resultante normalizada por
é
.
Passo 4
Transformamos cada exponencial em partes real e imaginária usando
.
Calculemos cada parte:
Calculemos cada parte:
Usando valores numéricos (em radianos):
Também
Multiplicando pelos coeficientes:
Somando as partes real e imaginária separadamente:
parte real:
parte real:
parte imaginária:
Passo 5
A amplitude normalizada
é o módulo do número complexo
:
Substituindo os valores:
Calculando:
Arredondando para duas casas decimais, obtemos
.