Três partículas, A, B e C, com suas respectivas massas 2,0 m, 3,5 m e 4,0 m, são mantidas fixas nas respectivas posições (2,0 d ; 4,0 d ;-2,0 d),(4,0 d ; 2,0 d ; 4,0 d) e (-2,0 d ; 4,0 d ;-6,0 d). Uma quarta partícula D, de massa 4,0 m, pode ser colocada nas proximidades das partículas A, B e C. Em termos da distância d e da massa m, encontre: a posição para D tal que a força resultante sobre a partícula C seja nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três partículas, A, B e C, com massas 2,0, m, 3,5, m e 4,0, m respectivamente, fixas em posições específicas no espaço. Queremos encontrar a posição da quarta partícula, D, com massa 4,0, m, de modo que a força resultante sobre a partícula C seja nula. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de força gravitacional e vetores de posição. Precisaremos calcular as forças que A e B exercem sobre C e, em seguida, determinar onde D deve estar para cancelar essa força total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das partículas no espaço tridimensional:
  • Partícula A: (2,0, d; 4,0, d; -2,0, d)
  • Partícula B: (4,0, d; 2,0, d; 4,0, d)
  • Partícula C: (-2,0, d; 4,0, d; -6,0, d)
Aqui, d representa uma unidade de distância, e todas as posições estão em coordenadas cartesianas x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular os vetores posição de A a C ( AC) e de B a C ( BC):
AC = C - A = (-2,0, d - 2,0, d; 4,0, d - 4,0, d; -6,0, d - (-2,0, d)) = (-4,0, d; 0,0, d; -4,0, d)
BC = C - B = (-2,0, d - 4,0, d; 4,0, d - 2,0, d; -6,0, d - 4,0, d) = (-6,0, d; 2,0, d; -10,0, d)

Passo 4

Agora, vamos calcular a força gravitacional que A e B exercem sobre C. A fórmula da força gravitacional é:
F = G cdot m1 cdot m2r^2 cdot r
Onde:
  • G é a constante gravitacional (podemos ignorar para simplificar, já que estamos buscando a posição)
  • m1 e m2 são as massas das partículas
  • r é a distância entre as partículas
  • r é o vetor unitário na direção de r
Como G e outros fatores são constantes, podemos focar na direção e magnitude relativas das forças.

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes das forças exercidas por A e B sobre C:
Primeiro, a distância entre A e C ( rAC):
rAC = raiz(-4,0, d)^2 + (0,0, d)^2 + (-4,0, d)^2 = raiz16 + 0 + 16 = raiz32 = 4raiz2, d
Força de A sobre C:
FAC = 2,0, m cdot 4,0, m(4raiz2, d)^2 = 8,0, m^232, d^2 = 14, m^2d^2
Agora, a distância entre B e C ( rBC):
rBC = raiz(-6,0, d)^2 + (2,0, d)^2 + (-10,0, d)^2 = raiz36 + 4 + 100 = raiz140 = 2raiz35, d
Força de B sobre C:
FBC = 3,5, m cdot 4,0, m(2raiz35, d)^2 = 14,0, m^2140, d^2 = 110, m^2d^2

Passo 6

Agora, somamos as forças de A e B sobre C para encontrar a força resultante que D precisa cancelar:
Fresu
Para que a força resultante sobre C seja nula, a força de D sobre C ( FDC) deve ser igual e oposta a Fresu:
FDC = -720, m^2d^2

Passo 7

Agora, vamos determinar a posição de D. Sabemos que:
FDC = G cdot mD cdot mCrDC^2 cdot rDC = -720, m^2d^2
Como mD = 4,0, m e mC = 4,0, m, temos:
G cdot 16, m^2rDC^2 = 720, m^2d^2 Rightarrow rDC^2 = 16, G7/20, d^2 Rightarrow rDC = raiz16, G cdot 207, d
Simplificando, a direção da força FDC deve ser oposta à força resultante, o que significa que D deve estar localizado na direção contrária à soma das forças de A e B sobre C.
Portanto, a posição de D deve ser tal que esteja a uma distância rDC de C na direção oposta da força resultante.

Resposta

A posição da partícula D que faz com que a força resultante sobre C seja nula está localizada a uma distância rDC = raiz320, G7, d na direção oposta à força resultante das partículas A e B sobre C.

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