Três partículas,
e
, com suas respectivas massas
e
, são mantidas fixas nas respectivas posições
e
. Uma quarta partícula
, de massa
, pode ser colocada nas proximidades das partículas
e
. Em termos da distância
e da massa
, encontre: a posição para
tal que a força resultante sobre a partícula
seja nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três partículas, A, B e C, com massas
,
e
respectivamente, fixas em posições específicas no espaço. Queremos encontrar a posição da quarta partícula, D, com massa
, de modo que a força resultante sobre a partícula C seja nula. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de força gravitacional e vetores de posição. Precisaremos calcular as forças que A e B exercem sobre C e, em seguida, determinar onde D deve estar para cancelar essa força total.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as posições das partículas no espaço tridimensional:
- Partícula A:
- Partícula B:
- Partícula C:
Aqui,
representa uma unidade de distância, e todas as posições estão em coordenadas cartesianas
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular os vetores posição de A a C (
) e de B a C (
):
Passo 4
Agora, vamos calcular a força gravitacional que A e B exercem sobre C. A fórmula da força gravitacional é:
Onde:
-
é a constante gravitacional (podemos ignorar para simplificar, já que estamos buscando a posição) -
e são as massas das partículas -
é a distância entre as partículas -
é o vetor unitário na direção de
Como
e outros fatores são constantes, podemos focar na direção e magnitude relativas das forças.
Passo 5
Vamos calcular as magnitudes das forças exercidas por A e B sobre C:
Primeiro, a distância entre A e C (
):
Força de A sobre C:
Agora, a distância entre B e C (
):
Força de B sobre C:
Passo 6
Agora, somamos as forças de A e B sobre C para encontrar a força resultante que D precisa cancelar:
Para que a força resultante sobre C seja nula, a força de D sobre C (
) deve ser igual e oposta a
:
Passo 7
Agora, vamos determinar a posição de D. Sabemos que:
Como
e
, temos:
Simplificando, a direção da força
deve ser oposta à força resultante, o que significa que D deve estar localizado na direção contrária à soma das forças de A e B sobre C.
Portanto, a posição de D deve ser tal que esteja a uma distância
de C na direção oposta da força resultante.
Resposta
A posição da partícula D que faz com que a força resultante sobre C seja nula está localizada a uma distância
na direção oposta à força resultante das partículas A e B sobre C.