Três pessoas serão selecionadas aleatoriamente de um grupo de dez estagiários administrativos. Esses três formarão um comitê com três cargos diferentes: o primeiro será nomeado coordenador, o segundo fiscal e o terceiro secretário. Metade do grupo são estudantes de último ano de graduação, sem nenhuma experiência dentro da empresa. Os outro cinco são estagiários há um semestre, e já concorrem por uma vaga efetiva na empresa.
Mostre que o evento A=O coordenador é um estagiário antigo não é independente do número de estagiários novos no comitê.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos 10 estagiários, 5 “novos” e 5 “antigos”. A gente escolhe 3 deles e dá 3 cargos diferentes (coordenador, fiscal e secretário).
Conteúdo: Probabilidade e independência de eventos.
O que precisamos:
  1. Calcular , onde
    o coordenador é estagiário antigo .
  2. Escolher um evento relacionado ao número de estagiários novos no comitê (vou usar “nenhum novo” como exemplo) e calcular para esse evento.
  3. Calcular e comparar com . Se não bater, não são independentes.

Passo 2

Calcular P(A);=;# de escolhas de um antigo como coordenador# total de escolhas de coordenador ;=;510 ;=;tfrac12 .
Como o cargo de coordenador vale pra qualquer um dos 10, e 5 são antigos, temos

Passo 3

Definir o evento P(B0) =binom53binom103 =10120 =112 = “nenhum estagiário novo no comitê” (ou seja, os 3 escolhidos são todos antigos).
Para calcular usamos combinações simples (a ordem de cargos aqui não importa para contar só quem entra no comitê):
Explicando: são as formas de escolher 3 antigos dentre 5, e é de escolher 3 quaisquer.

Passo 4

Agora P(Acap B0)=P(B0)=112 = probabilidade de “coordenador é antigo” e “nenhum novo no comitê”.
Mas se não há nenhum novo, todos os 3 são antigos, logo o coordenador já é antigo automaticamente.
Então
P(A),P(B0) =tfrac12timestfrac112 =tfrac124
Por outro lado, se fossem independentes, a gente deveria ter
Como , ferradura bate fora do sapato: não são independentes.

Resposta

Os eventos “coordenador é antigo” e “nenhum estagiário novo no comitê” não satisfazem
. Logo, o evento não é independente do número de estagiários novos no comitê.

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