Sejam os vetores
e
. (a) Qual deve ser o ângulo entre eles se
? (b) Qual deve ser o valor de
se ângulo entre os vetores for de
? © E qual o valor de
se este ângulo for agora de
?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos dois vetores em 3D:
E a gente quer:
(a) o ângulo entre eles quando ;
(b) qual torna o ângulo
;
© qual faz o ângulo ser
.
E a gente quer:
(a) o ângulo entre eles quando
(b) qual
© qual
Conteúdo que vamos usar: produto escalar (dot product) e norma de vetor, mais a fórmula
Passo 2
Parte (a): achar
quando
.
- Produto escalar:
Com
,
- Normas:
- A fórmula do cosseno:
- Assim
Passo 3
Parte (b): achar
para
.
Quando
,
, logo
Passo 4
Parte ©: achar
para
.
- Produto escalar genérico:
- Normas em função de
:
- Montamos
- Numérico:
, . Então
- Ao quadrado:
- Resolvendo a equação do 2º grau, dá
Resposta
(a)
(b)
© ou
(b)
©