Sejam os vetores Ax ax-7 ay+4 az e 5 ax+4 ay-3 az. (a) Qual deve ser o ângulo entre eles se Ax=10 ? (b) Qual deve ser o valor de Ax se ângulo entre os vetores for de 90^circ ? © E qual o valor de Ax se este ângulo for agora de 62,1^circ ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos dois vetores em 3D:
vec u!cdot!vec v = |vec u|;|vec v|costheta

E a gente quer:
(a) o ângulo entre eles quando ;
(b) qual torna o ângulo ;
© qual faz o ângulo ser .
Conteúdo que vamos usar: produto escalar (dot product) e norma de vetor, mais a fórmula

Passo 2

Parte (a): achar vec u!cdot!vec v = (Ax)(5) + (-7)(4) + (4)(-3) quando vec u!cdot!vec v = 10cdot5 -7cdot4 +4cdot(-3) = 50 -28 -12 =10 .
  1. Produto escalar:
|vec u| = raizAx^2 + (-7)^2 +4^2 = raiz10^2 +49 +16 = raiz165,
Com |vec v| = raiz5^2 +4^2 +(-3)^2 = raiz25 +16 +9 = raiz50 ,
costheta = vec u!cdot!vec v|vec u|;|vec v| = 10raiz165,raiz50
  1. Normas:
theta = arccos!l(10raiz165cdot50r) approx 83,7^circ
  1. A fórmula do cosseno:
  1. Assim

Passo 3

Parte (b): achar vec u!cdot!vec v = 0 ;Longrightarrow; 5Ax -7cdot4 +4cdot(-3) = 0 ;Longrightarrow; 5Ax -28 -12 = 0 ;Longrightarrow; 5Ax = 40 ;Longrightarrow; Ax = 8 para .
Quando , , logo

Passo 4

Parte ©: achar vec u!cdot!vec v = 5Ax -28 -12 = 5Ax -40 para |vec u| = raizAx^2 +65, |vec v| = raiz50 .
  1. Produto escalar genérico:
5Ax -40 = raizAx^2+65;raiz50;cos(62,1^circ)
  1. Normas em função de 5Ax -40 approx 7,071cdot0,469;raizAx^2+65 approx 3,318,raizAx^2+65 :
(5Ax -40)^2 = (3,318)^2,(Ax^2+65) ;Longrightarrow; 13,984,Ax^2 -400,Ax +883,96 = 0
  1. Montamos
Ax approx 2,41 ou Ax approx 26,2
  1. Numérico: , . Então
  1. Ao quadrado:
  1. Resolvendo a equação do 2º grau, dá

Resposta

(a)
(b)
© ou

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