Das três redes de Bravais cúbicas, a cúbica de face centrada é a mais densa e cúbica simples é a menos densa. A estrutura do diamante é a menos densa do
que qualquer uma destas. Uma medida disso é que os números de coordenação são: f c c=12, b c c=8, s c=6 e diamante =4. Outra é a seguinte: suponha que esferas sólidas idênticas sejam distribuídas pelo espaço de tal modo que seu centro fique nos pontos de cada uma destas quatro estruturas e esferas nos pontos vizinhos apenas toquem, sem se sobrepor. (Tal arranjo é denominado arranjo de empacotamento denso.) Admitindo-se que as esferas têm unidade de densidade, mostre que a densidade de um conjunto de esferas de empacotamento denso em cada uma das quatro estruturas (a “fração de empacotamento”) é:
FCC \sqrt{2} \pi / 6 0,74
BCC \sqrt{3} \pi / 8 0,68
SC \pi / 6 0,52
diamante \sqrt{3} \pi / 16 0,34

Passo 1

O enunciado pede a fração de empacotamento de esferas idênticas centradas nos pontos de quatro estruturas cristalinas (FCC, BCC, SC e diamante). A ideia é:
  1. Determinar a menor distância d entre centros de esferas que se tocam.
  2. Calcular o raio r = d/2.
  3. Contar quantas esferas efetivas há numa célula unitária.
  4. Calcular o volume total das esferas na célula e dividir pelo volume da célula a^3.

Passo 2

Para a rede cúbica de face centrada (FCC) a menor distância entre vizinhos é
d = \frac{a}{\sqrt{2}}, \quad r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\sqrt{2}}.
Cada célula contém 4 esferas efetivas.
V_{\text{esferas}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^3, \quad V_{\text{cela}} = a^3.
Logo
\eta_{\text{FCC}} = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi \bigl(\tfrac{a}{2\sqrt{2}}\bigr)^3}{a^3} = \frac{\sqrt{2}\,\pi}{6}\approx 0{,}74.

Passo 3

Para a rede cúbica de corpo centrado (BCC) a menor distância é do centro ao vértice:
d = \frac{\sqrt{3}\,a}{2}, \quad r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}\,a}{4}.
Há 2 esferas por célula.
V_{\text{esferas}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3, \quad V_{\text{cela}} = a^3.
Logo
\eta_{\text{BCC}} = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi \bigl(\tfrac{\sqrt{3}\,a}{4}\bigr)^3}{a^3} = \frac{\sqrt{3}\,\pi}{8}\approx 0{,}68.

Passo 4

Para a rede cúbica simples (SC) a menor distância é a aresta:
d = a, \quad r = \frac{a}{2}.
Há 1 esfera por célula.
V_{\text{esferas}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^3, \quad V_{\text{cela}} = a^3.
Logo
\eta_{\text{SC}} = \frac{\frac{4}{3}\pi \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^3}{a^3} = \frac{\pi}{6}\approx 0{,}52.

Passo 5

Na estrutura de diamante (rede FCC com base dupla) a menor distância entre átomos vizinhos é
d = \frac{\sqrt{3}\,a}{4}, \quad r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}\,a}{8}.
Há 8 esferas por célula.
V_{\text{esferas}} = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3, \quad V_{\text{cela}} = a^3.
Logo
\eta_{\text{diamante}} = \frac{8 \times \frac{4}{3}\pi \bigl(\tfrac{\sqrt{3}\,a}{8}\bigr)^3}{a^3} = \frac{\sqrt{3}\,\pi}{16}\approx 0{,}34.

Resposta

FCC: \displaystyle \frac{\sqrt{2}\,\pi}{6}\approx0{,}74
BCC: \displaystyle \frac{\sqrt{3}\,\pi}{8}\approx0{,}68
SC: \displaystyle \frac{\pi}{6}\approx0{,}52
diamante: \displaystyle \frac{\sqrt{3}\,\pi}{16}\approx0{,}34

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