Para três semicondutores distintos obteve-se os dados listados na tabela abaixo:
Semicondutor
Temperatura (K)
Condutividade Elétrica (
)
A: Intrínseco
293
473
160
B: Extrínseco (tipo-n)
100
200
200
1500
C: Extrínseco (tipo-p)
100
100
200
900
Determine: a) A energia do “gap” entre a banda de valência e a banda de condução no semicondutor A;
| Semicondutor | Temperatura (K) | Condutividade Elétrica (
|
| A: Intrínseco | 293 |
|
| 473 | 160 | |
| B: Extrínseco (tipo-n) | 100 | 200 |
| 200 | 1500 | |
| C: Extrínseco (tipo-p) | 100 | 100 |
| 200 | 900 |
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a energia do gap (energia de banda proibida) no semicondutor A. Dos dados da tabela (peguei esses valores da tabela fornecida) tenho para o semicondutor A (intrínseco):
A meta é encontrar
(em eV).
Passo 2
Breve aula (intuitiva) sobre o que usamos: em um semicondutor intrínseco a condutividade elétrica é dada por
onde:
-
é a carga do elétron ( ), -
são as mobilidades dos elétrons e lacunas (unidades ), -
é a concentração intrínseca de portadores.
A concentração intrínseca tem dependência exponencial com a energia do gap:
onde:
-
é uma constante que depende das massas efetivas e de constantes físicas, -
é a constante de Boltzmann. Vou usar para trabalhar já em elétron-volts.
Assim, a condutividade segue aproximadamente
com
. Note que
varia mais lentamente com
(potência) em comparação com o fator exponencial. Para estimar
é comum assumir que a variação exponencial domina e que a razão das condutividades elimina as constantes lentas. Essa é a hipótese que vou usar (explico depois o efeito de correções).
Passo 3
Tomando logaritmo da razão das condutividades e cancelando constantes que variam lentamente, obtemos a relação útil
Isolando
,
Aqui expliquei cada termo:
são as condutividades medidas;
as temperaturas;
em eV/K.
Passo 4
Calculemos cada peça. Primeiro a razão das condutividades (usei os valores diretamente da tabela):
Agora o logaritmo natural:
Passo 5
Calcule o fator térmico do denominador. É conveniente usar a forma
Com
e
:
Passo 6
Agora calcule o numerador
. Usando
:
Passo 7
Finalmente divido pelo denominador para obter
:
Passo 8
Comentário didático e de cuidado: usei a aproximação que as dependências em potência de
(o
em
) e a variação das mobilidades com
são lentas comparadas ao fator exponencial e, portanto, foram desprezadas ao tomar a razão. Incluir o termo
levaria a uma pequena correção (um termo aditivo
na equação do log), e as mobilidades tipicamente diminuem com
, o que também corrige a estimativa. Para uma estimativa rápida de prova essa aproximação é padrão e razoável; o valor obtido
é a resposta buscada.