Para três semicondutores distintos obteve-se os dados listados na tabela abaixo:
Semicondutor Temperatura (K) Condutividade Elétrica ( \Omega^{-1} \mathrm{~m}^{-1} )
A: Intrínseco 293 3 \times 10^{-4}
473 160
B: Extrínseco (tipo-n) 100 200
200 1500
C: Extrínseco (tipo-p) 100 100
200 900
Determine: a) A energia do “gap” entre a banda de valência e a banda de condução no semicondutor A;

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a energia do gap (energia de banda proibida) no semicondutor A. Dos dados da tabela (peguei esses valores da tabela fornecida) tenho para o semicondutor A (intrínseco):
T_1 = 293\\ \text{K},\qquad \sigma_1 = 3\times 10^{-4}\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1},
T_2 = 473\\ \text{K},\qquad \sigma_2 = 160\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}.
A meta é encontrar \displaystyle E_g (em eV).

Passo 2

Breve aula (intuitiva) sobre o que usamos: em um semicondutor intrínseco a condutividade elétrica é dada por
\sigma = q\,( \mu_n + \mu_p )\,n_i,
onde:
  • q é a carga do elétron ( =1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • \mu_n,\\ \mu_p são as mobilidades dos elétrons e lacunas (unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{V\!s}),
  • n_i é a concentração intrínseca de portadores.
A concentração intrínseca tem dependência exponencial com a energia do gap:
n_i = A\,T^{3/2}\,\exp\!\bigg(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\bigg),
onde:
  • A é uma constante que depende das massas efetivas e de constantes físicas,
  • k_B é a constante de Boltzmann. Vou usar k_B = 8{,}617333\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K} para trabalhar já em elétron-volts.
    Assim, a condutividade segue aproximadamente
\sigma(T) \approx C(T)\,\exp\!\bigg(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\bigg),
com C(T)=q(\mu_n+\mu_p)A\,T^{3/2}. Note que C(T) varia mais lentamente com T (potência) em comparação com o fator exponencial. Para estimar E_g é comum assumir que a variação exponencial domina e que a razão das condutividades elimina as constantes lentas. Essa é a hipótese que vou usar (explico depois o efeito de correções).

Passo 3

Tomando logaritmo da razão das condutividades e cancelando constantes que variam lentamente, obtemos a relação útil
\ln\!\left(\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) \approx \dfrac{E_g}{2k_B}\!\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right).
Isolando E_g,
E_g \approx 2k_B\; \dfrac{\ln(\sigma_2/\sigma_1)}{\,\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\,}.
Aqui expliquei cada termo: \sigma_1,\sigma_2 são as condutividades medidas; T_1,T_2 as temperaturas; k_B em eV/K.

Passo 4

Calculemos cada peça. Primeiro a razão das condutividades (usei os valores diretamente da tabela):
\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1} = \dfrac{160}{3\times 10^{-4}} = 5{,}33333\times 10^{5}.
Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) \approx 13{,}186901.

Passo 5

Calcule o fator térmico do denominador. É conveniente usar a forma
\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{T_2-T_1}{T_1 T_2}.
Com T_1=293 e T_2=473:
\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2} = \dfrac{473-293}{293\cdot 473} = \dfrac{180}{138589} \approx 0{,}001298807\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 6

Agora calcule o numerador 2k_B\ln(\sigma_2/\sigma_1). Usando k_B=8{,}617333\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}:
2k_B\ln\!\left(\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) =2\cdot 8{,}617333\times 10^{-5}\cdot 13{,}186901 \approx 0{,}0022727\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Finalmente divido pelo denominador para obter E_g:
E_g \approx \dfrac{0{,}0022727\\ \mathrm{eV}}{0{,}001298807\\ \mathrm{K}^{-1}} \approx 1{,}75\\ \mathrm{eV}.

Passo 8

Comentário didático e de cuidado: usei a aproximação que as dependências em potência de T (o T^{3/2} em n_i) e a variação das mobilidades com T são lentas comparadas ao fator exponencial e, portanto, foram desprezadas ao tomar a razão. Incluir o termo T^{3/2} levaria a uma pequena correção (um termo aditivo (3/2)\ln(T_2/T_1) na equação do log), e as mobilidades tipicamente diminuem com T, o que também corrige a estimativa. Para uma estimativa rápida de prova essa aproximação é padrão e razoável; o valor obtido \sim 1{,}75\\ \mathrm{eV} é a resposta buscada.

Resposta

E_g \approx 1{,}75\\ \mathrm{eV}

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