Para três semicondutores distintos obteve-se os dados listados na tabela abaixo:
Semicondutor Temperatura (K) Condutividade Elétrica ( \Omega^{-1} \mathrm{~m}^{-1} )
A: Intrínseco 293 3 \times 10^{-4}
473 160
B: Extrínseco (tipo-n) 100 200
200 1500
C: Extrínseco (tipo-p) 100 100
200 900
Determine: b) A energia do nível doador no semicondutor B dado que a energia de seu “gap” é de 1,03 \mathrm{eV}

Passo 1

O enunciado pede a energia do nível doador no semicondutor B. Dados relevantes fornecidos na tabela para o semicondutor B:
\begin{array}{l} T_1 = 100\\ \text{K},\quad \sigma_1 = 200\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1},\\[4pt] T_2 = 200\\ \text{K},\quad \sigma_2 = 1500\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}. \end{array}
Também foi dada a energia de gap \,1{,}03\\ \text{eV}\, (essa informação será comentada depois). A tarefa é determinar a energia do nível doador (profundidade do estado doador em relação à banda de condução).]

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicação didática e justificativa das hipóteses):
  • A condutividade elétrica de um semicondutor é dada por
\sigma = q\,n\,\mu,
onde q é a carga do elétron (valor absoluto), n é a concentração de elétrons livres e \mu é a mobilidade eletrônica. Aqui q é constante e cancela quando fazemos razões de condutividade.
  • Para um semicondutor extrínseco tipo-n, em regime de “freeze-out” (baixas temperaturas, ionização incompleta), a concentração de elétrons doados tem dependência exponencial com a energia de ionização do doador E_D:
n \propto \exp\!\big(-E_D/(kT)\big),
onde k é a constante de Boltzmann (em eV/K) e T a temperatura em K. Vou explicar: quanto mais profundo for o nível doador, maior a energia necessária para liberar um elétron para a banda de condução; essa probabilidade tem forma exponencial com -E_D/(kT).
  • A mobilidade \mu também depende de T. Em baixas temperaturas (100–200 K) o espalhamento por impurezas ionizadas costuma dominar, e sob esse mecanismo a mobilidade cresce com a temperatura aproximadamente como
\mu \propto T^{3/2}.
Justificativa: há dois mecanismos principais de espalhamento — fonônico (Fonon scattering) que dá \mu\propto T^{-3/2} e impurezas ionizadas que dão \mu\propto T^{3/2}. Em regime extrínseco e temperaturas relativamente baixas (100–200 K) é razoável assumir que o espalhamento por impurezas é dominante, então usamos \mu\propto T^{3/2}. Se alguém assumisse o outro limite, o resultado mudaria; vou explicar a consequência no final. Mas aqui sigo a hipótese física mais apropriada para semicondutores extrínsecos em baixo T.
  • Com essas dependências, para duas temperaturas T_1 e T_2 podemos relacionar as condutividades:
\frac{\sigma_2}{\sigma_1}=\frac{n_2\mu_2}{n_1\mu_1} =\exp\!\Big[E_D\Big(\frac{1}{kT_1}-\frac{1}{kT_2}\Big)\Big]\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2}.
Aqui expliquei: o termo exponencial vem da razão das concentrações n_2/n_1 e o fator em potência vem da razão das mobilidades \mu_2/\mu_1.

Passo 3

Isolando E_D na expressão:
\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{3/2} =\exp\!\Big[E_D\Big(\frac{1}{kT_1}-\frac{1}{kT_2}\Big)\Big].
Aplicando logaritmo natural:
E_D\Big(\frac{1}{kT_1}-\frac{1}{kT_2}\Big) =\ln\!\left[\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{3/2}\right].
Portanto
E_D=\frac{\ln\!\left[\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^{3/2}\right]} {\dfrac{1}{kT_1}-\dfrac{1}{kT_2}}.

Passo 4

Agora substituímos os números, mostrando as contas passo a passo (usarei k=8{,}6173\times10^{-5}\\ \text{eV/K}).
  1. Razão das condutividades:
\frac{\sigma_2}{\sigma_1}=\frac{1500}{200}=7{,}5.
  1. Fator de mobilidade (com \mu\propto T^{3/2}):
\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{3/2}=\left(\frac{100}{200}\right)^{3/2}=(\tfrac{1}{2})^{3/2}=2^{-3/2}=2^{-1{,}5}\approx 0{,}353553.
  1. Produto dentro do logaritmo:
\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{3/2} =7{,}5\times 0{,}353553\approx 2{,}65165.
  1. Logaritmo natural:
\ln(2{,}65165)\approx 0{,}9742.
  1. Diferença das inversas de kT:
\frac{1}{kT_1}-\frac{1}{kT_2} =\frac{1}{k}\Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Big) =\frac{1}{k}\Big(\frac{1}{100}-\frac{1}{200}\Big) =\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{200} =\frac{1}{200k}.
Logo é conveniente escrever
E_D = \ln(2{,}65165)\times 200k.
  1. Calculando com k=8{,}6173\times10^{-5}\\ \text{eV/K}:
200k=200\times 8{,}6173\times10^{-5}\\ \text{eV}=0{,}0172346\\ \text{eV}.
E_D \approx 0{,}9742\times 0{,}0172346\\ \text{eV}\approx 0{,}01680\\ \text{eV}.
  1. Convertendo para meV:
E_D\approx 16{,}8\\ \text{meV}.

Passo 5

Interpretação e comentário final:
  • A energia do nível doador calculada é \approx 0{,}0168\\ \text{eV} (ou 16{,}8\\ \text{meV}). Isso é muito pequena comparada ao gap \,1{,}03\\ \text{eV}\,, portanto trata-se de um doador raso (shallow donor), o que é comum em semicondutores dopados.
  • Observação sobre a hipótese de mobilidade: se, por outro lado, tivéssemos assumido que o espalhamento fonônico dominava e usado \mu\propto T^{-3/2}, o resultado numérico daria um valor maior (aprox. 0{,}053\\ \text{eV}). Escolhi \mu\propto T^{3/2} porque estamos em baixas temperaturas e em material extrínseco onde impurezas ionizadas tipicamente dominam o espalhamento; essa é a hipótese mais coerente fisicamente para 100 200\\ \text{K}.

Resposta

\displaystyle E_D \approx 0{,}0168\\ \text{eV}\\ (\approx 16{,}8\\ \text{meV})

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