Para três semicondutores distintos obteve-se os dados listados na tabela abaixo:
Semicondutor
Temperatura (K)
Condutividade Elétrica (
)
A: Intrínseco
293
473
160
B: Extrínseco (tipo-n)
100
200
200
1500
C: Extrínseco (tipo-p)
100
100
200
900
Determine: b) A energia do nível doador no semicondutor B dado que a energia de seu “gap” é de
| Semicondutor | Temperatura (K) | Condutividade Elétrica (
|
| A: Intrínseco | 293 |
|
| 473 | 160 | |
| B: Extrínseco (tipo-n) | 100 | 200 |
| 200 | 1500 | |
| C: Extrínseco (tipo-p) | 100 | 100 |
| 200 | 900 |
Passo 1
O enunciado pede a energia do nível doador no semicondutor
. Dados relevantes fornecidos na tabela para o semicondutor
:
Também foi dada a energia de gap
(essa informação será comentada depois). A tarefa é determinar a energia do nível doador (profundidade do estado doador em relação à banda de condução).]
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (explicação didática e justificativa das hipóteses):
- A condutividade elétrica de um semicondutor é dada por
onde
é a carga do elétron (valor absoluto),
é a concentração de elétrons livres e
é a mobilidade eletrônica. Aqui
é constante e cancela quando fazemos razões de condutividade.
- Para um semicondutor extrínseco tipo-n, em regime de “freeze-out” (baixas temperaturas, ionização incompleta), a concentração de elétrons doados tem dependência exponencial com a energia de ionização do doador
:
onde
é a constante de Boltzmann (em eV/K) e
a temperatura em K. Vou explicar: quanto mais profundo for o nível doador, maior a energia necessária para liberar um elétron para a banda de condução; essa probabilidade tem forma exponencial com
.
- A mobilidade
também depende de . Em baixas temperaturas (100–200 K) o espalhamento por impurezas ionizadas costuma dominar, e sob esse mecanismo a mobilidade cresce com a temperatura aproximadamente como
Justificativa: há dois mecanismos principais de espalhamento — fonônico (Fonon scattering) que dá
e impurezas ionizadas que dão
. Em regime extrínseco e temperaturas relativamente baixas (100–200 K) é razoável assumir que o espalhamento por impurezas é dominante, então usamos
. Se alguém assumisse o outro limite, o resultado mudaria; vou explicar a consequência no final. Mas aqui sigo a hipótese física mais apropriada para semicondutores extrínsecos em baixo T.
- Com essas dependências, para duas temperaturas
e podemos relacionar as condutividades:
Aqui expliquei: o termo exponencial vem da razão das concentrações
e o fator em potência vem da razão das mobilidades
.
Passo 3
Isolando
na expressão:
Aplicando logaritmo natural:
Portanto
Passo 4
Agora substituímos os números, mostrando as contas passo a passo (usarei
).
- Razão das condutividades:
- Fator de mobilidade (com
):
- Produto dentro do logaritmo:
- Logaritmo natural:
- Diferença das inversas de
:
Logo é conveniente escrever
- Calculando com
:
- Convertendo para meV:
Passo 5
Interpretação e comentário final:
- A energia do nível doador calculada é
(ou ). Isso é muito pequena comparada ao gap , portanto trata-se de um doador raso (shallow donor), o que é comum em semicondutores dopados. - Observação sobre a hipótese de mobilidade: se, por outro lado, tivéssemos assumido que o espalhamento fonônico dominava e usado
, o resultado numérico daria um valor maior (aprox. ). Escolhi porque estamos em baixas temperaturas e em material extrínseco onde impurezas ionizadas tipicamente dominam o espalhamento; essa é a hipótese mais coerente fisicamente para – .