Três tipos de materiais foram testados quanto à resistência à tração (medida em kgf/m2). Observou-se que a resistência à tração de cada tipo de material pode ser caracterizada pelas seguintes distribuições de densidade. O material do tipo A segue uma normal, A sim N(mu=21.2, sigma^2=5.4), o do tipo B segue uma normal B sim N(mu=23.2, sigma^2=3.2) e o do tipo C segue uma uniforme C sim U(a=18.2, b=21.8)
a. Qual é a probabilidade de uma amostra qualquer do material tipo A ter resistência à tração inferior a 19.55 kgf / m 2 ? square
b. Calcule a probabilidade da resistência de uma amostra qualquer do material do tipo B ser pelo menos 4.1 kgf / m 2 superior à resistência de uma amostra qualquer do tipo A. square
c. Ao testar a resistência de 18 amostras de cada tipo de material, qual a probabilidade de a média da resistência do material do tipo C ser superior à média da resistência do material do tipo A ? square

Passo 1

O enunciado dá três distribuições de resistência à tração (kgf/m²):
– Tipo A: Asim N(mu=21.2,sigma^2=5.4)
– Tipo B: Bsim N(mu=23.2,sigma^2=3.2)
– Tipo C: Csim U(a=18.2,b=21.8)
Precisamos usar propriedades de probabilidades em distribuições normais (z-score), da diferença de normais e do Teorema Central do Limite para médias de amostras de variáveis uniformes.

Passo 2

a) Para calcular
Pl(A<19.55r)
usamos o desvio-padrão de A, sigmaA=raiz5.4approx2.3238, e definimos
Z=19.55-21.22.3238approx -0.710
Logo
P(A<19.55)=P(Z<-0.710)=Phi(-0.710)approx 0.238,

Passo 3

b) Queremos
Pl(B>= A+4.1r)=Pl(B-A>=4.1r)
Como B-A é normal com
muB-A=23.2-21.2=2 e sigma^2B-A=3.2+5.4=8.6, logo sigmaB-A=raiz8.6approx2.932. Então
Z=4.1-22.932approx0.737
e
P(B-A>=4.1)=1-Phi(0.737)approx1-0.769=0.231,

Passo 4

c) Para médias de n=18 de Csim U(18.2,21.8), temos
muC=(18.2+21.8)/2=20 e sigma^2C=(b-a)^2/12=1.08. Assim a média amostral de C tem variância 1.08/18=0.06.
Para A com sigma^2A=5.4, a média de 18 amostras tem variância 5.4/18=0.3.
A diferença das médias é aproximadamente normal com
mubar C-bar A=20-21.2=-1.2 e sigma^2bar C-bar A=0.06+0.3=0.36, logo sigmabar C-bar A=0.6.
Calculamos
Pl(bar C>bar Ar)=Pl(bar C-bar A>0r) =Pl(Z>0-(-1.2)0.6r)=P(Z>2)=1-Phi(2)approx0.0228,

Resposta

a) 0.238
b) 0.231
c) 0.0228

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