Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 100 peças, das quais 3 % são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1 % são defeituosas. Da produção total de um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?

Passo 1

Beleza, o problema diz que duas máquinas, A e B, juntas produzem 3000 peças num dia. A máquina A faz 1000 peças (3% defeituosas) e a máquina B faz 2000 peças (1% defeituosas). A gente escolhe uma peça ao acaso e vê que ela é defeituosa. Queremos saber a probabilidade dela ter vindo da máquina A.
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  • Definir os eventos (A, B e D)
  • Calcular probabilidades simples P(A), P(B), P(D|A), P(D|B)
  • Usar Teorema da Probabilidade Total para P(D)
  • Usar Teorema de Bayes para P(A|D)

Passo 2

Definindo os eventos:
A = “peça produzida pela máquina A”
B = “peça produzida pela máquina B”
D = “peça é defeituosa”
As probabilidades iniciais:
P(A) = número de peças da A / total =
P(B) =
As probabilidades condicionais de defeito:
P(D|A) = 3% = 0,03
P(D|B) = 1% = 0,01

Passo 3

Agora usamos o Teorema da Probabilidade Total para achar P(D), a chance de tirar uma peça defeituosa de todo o conjunto:
P(D) ;=; P(D|A),P(A);+;P(D|B),P(B)
Substituindo:
P(D) ;=; 0,03cdot13 ;+; 0,01cdot23 ;=; 0,01 ;+; 0,006666ldots ;=; 0,016666ldots

Passo 4

Por fim, aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(A|D):
P(A|D) ;=; P(D|A),P(A)P(D) ;=; 0,03cdot130,016666ldots ;=; 0,010,016666ldots ;=;0,6

Resposta

A probabilidade de a peça defeituosa ter vindo da máquina A é 0,6 (ou 60%).

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