Ache as coordenadas do vector (2 a+b) times b se a=3 i-j-2 k e b=i+2 j-k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as coordenadas do vetor (2a + b) times b, onde a = 3i - j - 2k e b = i + 2j - k.
Conteúdo da matéria: Produto vetorial (ou produto cruzado) de vetores.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as componentes dos vetores a e b.
  • Saber como realizar operações com vetores, como multiplicação por escalar e o produto vetorial.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor 2a + b.
Sabendo que a = 3i - j - 2k, multiplicamos por 2:
2a = 2 times (3i - j - 2k) = 6i - 2j - 4k
Agora, somamos b:
2a + b = (6i - 2j - 4k) + (i + 2j - k) = (6 + 1)i + (-2 + 2)j + (-4 - 1)k = 7i + 0j - 5k
Portanto, 2a + b = 7i - 5k.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre 2a + b e b, ou seja:
(2a + b) times b = (7i - 5k) times (i + 2j - k)
Teoria aplicada: O produto vetorial de dois vetores u = uxi + uyj + uzk e v = vxi + vyj + vzk é dado por:
u times v = (uy vz - uz vy)i - (ux vz - uz vx)j + (ux vy - uy vx)k

Passo 4

Vamos identificar as componentes dos vetores:
Para 2a + b:
ux = 7, uy = 0, uz = -5
Para b:
vx = 1, vy = 2, vz = -1
Agora, aplicamos a fórmula do produto vetorial:
u times v = (0 times (-1) - (-5) times 2)i - (7 times (-1) - (-5) times 1)j + (7 times 2 - 0 times 1)k

Passo 5

Calculando cada componente:
Para i:
0 times (-1) - (-5) times 2 = 0 + 10 = 10
Para j:
-(7 times (-1) - (-5) times 1) = -(-7 + 5) = -(-2) = 2
Para k:
7 times 2 - 0 times 1 = 14 - 0 = 14

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor (2a + b) times b são:
10i + 2j + 14k

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