Três vértices de um retângulo são O=(0,0), A=(a, b) e B=(0, b). Qual é o quarto vértice?

Passo 1

O enunciado nos dá três vértices de um retângulo:
O=(0,0), A=(a,b) e B=(0,b).
Queremos achar o quarto vértice. Vamos usar geometria analítica: num retângulo há ângulos retos e pares de lados paralelos.

Passo 2

Observamos o ângulo em B. Os vetores que chegam em B são
BO = (0,0)-(0,b) = (0,-b)
e
BA = (a,b)-(0,b) = (a,0).
O produto escalar é
(0,-b)cdot(a,0)=0,
logo são perpendiculares e B é vértice que liga O e A. O quarto vértice fica oposto a B.

Passo 3

Para obter o vértice D oposto a B basta “descolar” o segmento BA para partir de O. Em vetor:
OD = BA = A - B.
Em coordenadas,
D = O + (A - B) = (0,0) + l((a,b)-(0,b)r) = (a,0)

Resposta

O quarto vértice é (a,0).

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