Uma esfera de ferro, oca, flutua quase totalmente submersa em água. O diâmetro externo é 60,0 cm e a massa específica do ferro é 7,87 g/cm³. Determine o diâmetro interno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de ferro oca que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dessa esfera é de 60,0 cm e a massa específica do ferro é 7,87 g/cm³. Nosso objetivo é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera.
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de flutuabilidade e densidade. A ideia é usar o princípio de Arquimedes, que nos diz que o peso do líquido deslocado pela esfera é igual ao peso da esfera. Vamos precisar das fórmulas para o volume de uma esfera e para a relação entre massa, densidade e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de uma esfera. A fórmula é:
Onde $ V $ é o volume e $ r $ é o raio da esfera. Como temos o diâmetro, vamos primeiro encontrar o raio externo. O diâmetro externo é 60,0 cm, então o raio externo $ R $ é metade disso:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a esfera é oca, ou seja, tem um diâmetro interno $ d $ que queremos encontrar. O raio interno $ r $ será metade do diâmetro interno:
O volume total da esfera externa é:
E o volume interno vazio é:
Portanto, o volume de ferro na esfera é a diferença entre esses dois volumes:
Passo 4
Vamos lembrar que a densidade ($ \rho $) é a massa dividida pelo volume:
Rearranjando para encontrar a massa:
A massa da esfera de ferro é então:
Passo 5
Segundo o princípio de Arquimedes, o peso da esfera é igual ao peso da água deslocada. Como a esfera está quase totalmente submersa, o volume de água deslocada é aproximadamente o volume externo da esfera:
Como o peso da esfera é igual ao peso da água deslocada:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ \frac{4}{3} \pi $:
Substituindo os valores das densidades:
Passo 7
Vamos resolver para $ r^3 $:
Agora, isolando $ r^3 $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Percebi que houve um erro no sinal. Vamos corrigir:
Na etapa anterior:
Subtraindo 212,490 de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por -7,87:
Isso não faz sentido físico, já que o volume não pode ser negativo. Vamos verificar onde erramos.
Passo 8
Na verdade, a densidade do ferro é maior que a da água, o que faz com que a esfera afunde se for totalmente sólida. Porém, como a esfera é oca e está quase totalmente submersa, ajustamos para encontrar o diâmetro interno que permite essa flutuação.
Vamos reconsiderar a equação:
Rearranjando:
Calculando $ 30^3 = 27000 $:
Distribuindo:
Calculando $ 7,87 \cdot 27000 $:
Agora, isolando $ r^3 $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Parece que houve um erro na formulação inicial. A abordagem correta é considerar que a massa de ferro deve equilibrar a massa de água deslocada, levando em conta o volume da oca.
Vamos refazer a equação:
Substituindo:
Dividindo ambos os lados por $ \frac{4}{3} \pi $:
Então:
Isolando $ r^3 $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Como o volume não pode ser negativo, percebo que houve um erro nos sinais. Na verdade, devemos rearranjar a equação corretamente:
Agora, isolando $ r^3 $:
Passo 9
Agora, para encontrar o raio interno $ r $, tiramos a raiz cúbica de $ r^3 $:
Então, o diâmetro interno $ d $ é duas vezes o raio interno:
Resposta
O diâmetro interno da esfera é de aproximadamente 56,0 cm.