Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por \mathbf{r}_{1}=7 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{r}_{2}=-2 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{r}_{3}=2 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(c) a área do triângulo definido por \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores posicionais a partir da origem. Os dois que nos interessam são:
O que o item (c) pede: calcular a área do triângulo definido por \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2. Ou seja, o triângulo com vértices na origem, em \mathbf{r}_1 e em \mathbf{r}_2.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
O produto vetorial \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2 produz um vetor cuja magnitude \big\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big\| é igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2.
O triângulo formado por \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2 tem metade dessa área.
Portanto a fórmula prática é
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\big\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big\|.Áâ
Vou então calcular \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2 e depois a sua magnitude.
Passo 3
Calcular o produto vetorial por expansão de determinante. Escrevendo as componentes (usarei a base \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z):