Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por \mathbf{r}_{1}=7 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{r}_{2}=-2 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{r}_{3}=2 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(c) a área do triângulo definido por \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores posicionais a partir da origem. Os dois que nos interessam são:
\mathbf{r}_1 = 7\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_y - 2\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{r}_2 = -2\mathbf{a}_x + 7\mathbf{a}_y - 3\mathbf{a}_z.
O que o item (c) pede: calcular a área do triângulo definido por \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2. Ou seja, o triângulo com vértices na origem, em \mathbf{r}_1 e em \mathbf{r}_2.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O produto vetorial \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2 produz um vetor cuja magnitude \big\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big\| é igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2.
  • O triângulo formado por \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2 tem metade dessa área.
    Portanto a fórmula prática é
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\big\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big\|.Áâ
Vou então calcular \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2 e depois a sua magnitude.

Passo 3

Calcular o produto vetorial por expansão de determinante. Escrevendo as componentes (usarei a base \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z):
\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z \\\\ 7 & 3 & -2 \\\\ -2 & 7 & -3 \end{vmatrix}.
Agora as componentes uma a uma:
Componente x (coeficiente de \mathbf{a}_x):
(\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2)_x = \det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]7 & -3\end{pmatrix} = 3\cdot(-3)-(-2)\cdot7 = -9+14 = 5.
Componente y (coeficiente de \mathbf{a}_y; atenção ao sinal):
(\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2)_y = -\,\det\begin{pmatrix}7 & -2\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix} = -\big(7\cdot(-3)-(-2)\cdot(-2)\big) = -\big(-21-4\big)= -(-25)=25.
Componente z (coeficiente de \mathbf{a}_z):
(\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2)_z = \det\begin{pmatrix}7 & 3\\[4pt]-2 & 7\end{pmatrix} = 7\cdot7-3\cdot(-2)=49+6=55.
Portanto
\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2 = 5\,\mathbf{a}_x + 25\,\mathbf{a}_y + 55\,\mathbf{a}_z.]

Passo 4

Calcular a magnitude do vetor produto vetorial:
\big\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big\| = \sqrt{5^{2}+25^{2}+55^{2}} = \sqrt{25+625+3025} = \sqrt{3675}.
Fatorando 3675:
3675 = 25\cdot147 = 25\cdot(3\cdot49) = 25\cdot3\cdot7^{2},
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\sqrt{3675}=5\cdot7\sqrt{3}=35\sqrt{3}.

Passo 5

Área do triângulo é metade dessa magnitude:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\big\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big\| = \tfrac{1}{2}\cdot 35\sqrt{3} = \dfrac{35}{2}\sqrt{3}.Á
Força! Esse é o resultado final — num contexto de prova, escreva claramente que a área vale \dfrac{35}{2}\sqrt{3}.

Resposta

\dfrac{35}{2}\sqrt{3}

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