Resolva os problemas abaixo desenvolvendo os cálculos com detalhes
Uma distribuição volumétrica de carga não-uniforme rhov=k r^1 / 2 está contida em uma esfera de raio R, onde k é uma constante. Usando a lei de Gauss, obtenha a expressão do módulo do campo elétrico E dentro da esfera r<R.
A) E=2 k R^7 / 2 / 7 varepsilono r^2
B) E=k r^5 / 2 / 5 varepsilono
C) E=k R^3 / 2 / 7 varepsilono
D) E=2 k r^7 / 2 / 7 R^2
E) E=2 k r^3 / 2 / 7 varepsilono
F) E=k r^3 / 2 / 3 varepsilono

Passo 1

O enunciado fornece uma densidade volumétrica de carga não-uniforme
rhov=k,r^1/2
contida em uma esfera de raio R, e pede o módulo do campo elétrico para r<R.
O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss em geometria esférica.

Passo 2

Calcular a carga enclausurada por uma superfície esférica de raio r. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV=r'^2sintheta,dr',dtheta,dphi e pela simetria
Qrm enc =integralVrrhov,dV =integral0^rl(k,r'^1/2r),4pi,r'^2,dr' =4pi kintegral0^rr'^5/2,dr' =4pi k[r'^7/2tfrac72]0^r =8pi k7,r^7/2

Passo 3

Aplicar a Lei de Gauss:
ointSEcdot dA =Qrm encvarepsilon0
Para simetria esférica E é radial e constante na superfície de raio r, logo
E,(4pi r^2) =1varepsilon0;8pi k7,r^7/2 Longrightarrow E =tfrac8pi k7,r^7/24pivarepsilon0,r^2 =2,k7,varepsilon0,r^3/2

Resposta

E=2,k,r^3/27,varepsilon0,
correspondendo à alternativa (E).

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