Se \vec{d}_{1}+\vec{d}_{2}=5 \vec{d}_{3}, \vec{d}_{1}-\vec{d}_{2}=3 \vec{d}_{3} \mathrm{e} \vec{d}_{3}=2 \hat{i}+4 \hat{j}, determine em termos dos vetores unitários:
a) \vec{d}_{1};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\vec{d}_{1}+\vec{d}_{2}=5\vec{d}_{3}, \qquad \vec{d}_{1}-\vec{d}_{2}=3\vec{d}_{3}, \qquad \vec{d}_{3}=2\hat{i}+4\hat{j}.
A pergunta (a) pede determinar \vec{d}_{1} em termos dos vetores unitários \hat{i} e \hat{j}.

Passo 2

Observação sobre operações com vetores (mini-aula): podemos somar e subtrair vetores componente a componente e multiplicar um vetor por um escalar distribuindo esse escalar em cada componente. Ou seja, se \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j} e a é escalar, então
a\vec{v}=a v_x\hat{i}+a v_y\hat{j}.
Também vale para igualdades: se \vec{A}=\vec{B} então as componentes correspondentes de \vec{A} e \vec{B} são iguais.

Passo 3

Vamos eliminar \vec{d}_{2} somando as duas equações dadas. Soma termo a termo:
(\vec{d}_{1}+\vec{d}_{2})+(\vec{d}_{1}-\vec{d}_{2}) = 5\vec{d}_{3}+3\vec{d}_{3}.
No lado esquerdo os \vec{d}_{2} se cancelam porque +\vec{d}_{2}-\vec{d}_{2}= \vec{0}. No lado direito somam-se os escalares:
2\vec{d}_{1} = 8\vec{d}_{3}.

Passo 4

Agora isolamos \vec{d}_{1} dividindo por 2 (divisão por escalar é válida componente a componente):
\vec{d}_{1} = 4\vec{d}_{3}.
Isso já é uma expressão em termos de \vec{d}_{3}; falta usar a expressão dada para \vec{d}_{3}.

Passo 5

Substituímos \vec{d}_{3}=2\hat{i}+4\hat{j} e aplicamos a multiplicação escalar 4 distribuindo sobre cada componente:
\vec{d}_{1} = 4(2\hat{i}+4\hat{j}) = 4\cdot2\hat{i} + 4\cdot4\hat{j}.

Passo 6

Calculamos os produtos escalares simples:
\vec{d}_{1} = 8\hat{i} + 16\hat{j}.

Resposta

\vec{d}_{1}=8\hat{i}+16\hat{j}

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