Três vetores são dados por veca=3 i+3 j- 2 k, b=-1 i-4 j+2 k e vecc=2 i+2 j+1 k. Determine
veca cdot(b+c) e

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em componentes cartesianas e pede para calcular o produto escalar e o produto vetorial de vec a com a soma de vec b e vec c. O conteúdo aqui é operações com vetores: soma de vetores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro vamos somar vec b e vec c. Para isso somamos componente a componente:
vec b + vec c = (-1,hat i -4,hat j +2,hat k) + (2,hat i +2,hat j +1,hat k)
vec b + vec c = ( -1+2 ),hat i + ( -4+2 ),hat j + (2+1),hat k = 1,hat i -2,hat j +3,hat k

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar vec a cdot (vec b + vec c). Lembrando que se vec x=(x1,x2,x3) e vec y=(y1,y2,y3), então
vec x cdot vec y = x1y1 + x2y2 + x3y3
No nosso caso vec a=(3,3,-2) e vec b+vec c=(1,-2,3), logo:
vec a cdot (vec b+vec c) = 3cdot1 + 3cdot(-2) + (-2)cdot3 = 3 -6 -6 = -9

Passo 4

Por fim, calculamos o produto vetorial vec a times (vec b + vec c). Usamos o determinante:
vec a times (vec b+vec c) = hat i & hat j & hat k 3 & 3 & -2 1 & -2 & 3
Expandindo:
hat i,(3cdot3 - (-2)cdot(-2)) -hat j,(3cdot3 - (-2)cdot1) +hat k,(3cdot(-2) - 3cdot1)
Isso dá:
hat i,(9 -4) - hat j,(9 +2) + hat k,(-6 -3) = 5,hat i -11,hat j -9,hat k

Resposta

vec a cdot (vec b+vec c) = -9 e vec a times (vec b+vec c) = 5,hat i -11,hat j -9,hat k.

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