No produto F=q v times B, faça q=2, v=2 i+4 j+6 k e F=4 i-2 j+12 k. Determine B, em termos dos vetores unitários, para Bx=By.

Passo 1

Temos a força magnética vec F = q,vec v times vec B com q=2, vec v = 2hat i +4hat j +6hat k e vec F = 4hat i -2hat j +12hat k. O tema é produto vetorial e determinação de vec B, e vamos usar as propriedades do produto vetorial e resolver um sistema linear.

Passo 2

Como vec v times vec B é sempre perpendicular a vec v, a própria vec F deve ser perpendicular a vec v. Verificamos:
vec v cdot vec F = 2cdot4 + 4cdot(-2) + 6cdot12 = 8 - 8 + 72 = 72 neq 0
Isso mostra que já não há solução. Para ilustrar, vamos montar o sistema.

Passo 3

Suponha vec B = Bxhat i + Byhat j + Bzhat k com Bx = By. Logo vec B = (Bx,Bx,Bz). Calculamos:
vec v times vec B = 246 times BxBxBz = (4Bz - 6Bx,;6Bx - 2Bz,;2Bx - 4Bx) = (4Bz -6Bx,;6Bx -2Bz,;-2Bx)
Multiplicando por q=2 e igualando a vec F gera o sistema:
8Bz -12Bx = 4, 12Bx -4Bz = -2, -4Bx = 12

Passo 4

Da terceira equação vem Bx = -3. Substituindo na primeira:
8Bz +36 = 4 implies Bz = -4
Mas na segunda temos
12(-3) -4(-4) = -36 +16 = -20 neq -2,
o que deixa o sistema inconsistente.

Passo 5

Portanto, não existe nenhum vetor vec B com Bx = By que satisfaça vec F = q,vec v times vec B para os dados fornecidos.

Resposta

Não existe vetor vec B com Bx = By que satisfaça a equação dada.

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