Em uma triagem de rotina, sabe-se que
da população testada realmente possui determinada doença. Um exame de sangue é aplicado, e ele apresenta:
- Sensibilidade de
, ou seja,
;
- Taxa de falso positivo de
, ou seja,
.
Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente, pede-se:
(a) Qual é a probabilidade de ela ter tido um falso positivo, ou seja, o exame ter dado positivo sem que a pessoa tenha a doença?
(b) Sabendo que o exame foi positivo, qual é a probabilidade condicional de que ela realmente tenha a doença?
(a) Qual é a probabilidade de ela ter tido um falso positivo, ou seja, o exame ter dado positivo sem que a pessoa tenha a doença?
(b) Sabendo que o exame foi positivo, qual é a probabilidade condicional de que ela realmente tenha a doença?
Passo 1
O enunciado descreve um teste diagnóstico para uma doença com prevalência de
na população, ou seja,
O exame tem sensibilidade de
, isto é,
e taxa de falso positivo de
, isto é,
Vamos usar a definição de probabilidade conjunta para calcular falso positivo e depois a regra de Bayes para achar
.
Passo 2
Para a probabilidade de falso positivo, queremos
Substituindo os valores,
Passo 3
Para usar Bayes, precisamos de
pela fórmula da probabilidade total:
Logo,
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter a probabilidade de ter a doença dado teste positivo:
Resposta
(a)
(ou
).
(b) (ou
).
(b)