Em uma triagem de rotina, sabe-se que 2 \% da população testada realmente possui determinada doença. Um exame de sangue é aplicado, e ele apresenta:
  • Sensibilidade de 90 \%, ou seja, P(+\mid D)=0,90;
  • Taxa de falso positivo de 1,8 \%, ou seja, P\left(+\mid D^{c}\right)=0,018.
Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente, pede-se:
(a) Qual é a probabilidade de ela ter tido um falso positivo, ou seja, o exame ter dado positivo sem que a pessoa tenha a doença?
(b) Sabendo que o exame foi positivo, qual é a probabilidade condicional de que ela realmente tenha a doença?

Passo 1

O enunciado descreve um teste diagnóstico para uma doença com prevalência de 2\% na população, ou seja,
P(D)=0,02,\quad P(D^{c})=1-P(D)=0,98.
O exame tem sensibilidade de 90\%, isto é,
P(+\mid D)=0,90,
e taxa de falso positivo de 1{,}8\%, isto é,
P(+\mid D^{c})=0,018.
Vamos usar a definição de probabilidade conjunta para calcular falso positivo e depois a regra de Bayes para achar P(D\mid +).

Passo 2

Para a probabilidade de falso positivo, queremos
P(\text{falso positivo})=P(+\cap D^{c})=P(D^{c})\,P(+\mid D^{c}).
Substituindo os valores,
P(+\cap D^{c})=0,98\times0,018=0,01764.

Passo 3

Para usar Bayes, precisamos de P(+) pela fórmula da probabilidade total:
P(+)=P(D)\,P(+\mid D)+P(D^{c})\,P(+\mid D^{c}).
Logo,
P(+)=0,02\times0,90+0,98\times0,018=0,018+0,01764=0,03564.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter a probabilidade de ter a doença dado teste positivo:
P(D\mid +)=\frac{P(D)\,P(+\mid D)}{P(+)} =\frac{0,02\times0,90}{0,03564} \approx0,504.

Resposta

(a) P(\text{falso positivo})=0,01764 (ou 1,764\%).
(b) P(D\mid +)\approx0,504 (ou 50,4\%).

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