Sabe-se que 80 \% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Atlético. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40 \% se o cobrador for do Atlético e de 70 \% em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
(a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Atlético e ser convertido?
(b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
(c) Qual a probabilidade do pênalti não ser convertido?
(d) Sabendo que o pênalti foi desperdiçado, qual é a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Atlético?

Passo 1

O enunciado nos dá que a probabilidade de o cobrador ser do Atlético é P(A)=0,8 e, dado esse evento, a chance de converter o pênalti é P(C\mid A)=0,4. Se não for do Atlético, P(C\mid A^c)=0,7. Vamos usar a regra da multiplicação para (a), a lei da probabilidade total para (b), o complemento para (c) e o Teorema de Bayes para (d).

Passo 2

Para (a), a probabilidade de o cobrador ser do Atlético e converter o pênalti é
P(A\cap C)=P(A)\,P(C\mid A)=0,8\times0,4=0,32.

Passo 3

Para (b), aplicamos a lei da probabilidade total:
P\text{(C)}=P(A)\,P(C\mid A)+P(A^c)\,P(C\mid A^c) =0,8\times0,4+0,2\times0,7=0,32+0,14=0,46.

Passo 4

Para (c), a probabilidade de não converter é o complemento de P\text{(C)}:
P(C^c)=1-P\text{(C)}=1-0,46=0,54.

Passo 5

Para (d), usamos o Teorema de Bayes buscando P(A\mid C^c):
P(A\mid C^c) =\frac{P(A\cap C^c)}{P(C^c)} =\frac{P(A)\,P(C^c\mid A)}{P(C^c)} =\frac{0,8\times(1-0,4)}{0,54} =\frac{0,8\times0,6}{0,54} =\frac{0,48}{0,54} =\frac{8}{9}\approx0,8889.

Resposta

(a) 0,32
(b) 0,46
(c) 0,54
(d) 8/9\approx0,8889

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