(a) What does the equation
represent as a curve in
?
(b) What does it represent as a surface in
?
(c) What does the equation
represent?
(b) What does it represent as a surface in
(c) What does the equation
Passo 1
O enunciado pede para interpretar geometricamente duas equações em diferentes espaços:
– Em , o que significa a curva dada por
– Em
– Em
, o que significa a superfície dada por
e também
Para responder, vamos usar a noção de gráfico de função e de conjunto de nível em cada caso.
Passo 2
Como curva em
, a equação
é justamente o gráfico da função
Ou seja, é o conjunto
que é a parábola típica com vértice na origem e que abre para cima.
Passo 3
Em
, a equação
define o conjunto
Aqui o
é livre, ou seja, para cada ponto
da parábola em
temos toda a reta paralela ao eixo
. Geometricamente, isso forma um cilindro com seção transversal parabólica — chamado parabolic cylinder ou cilindro parabólico — estendido ao longo do eixo
.
Passo 4
Também em
, a equação
é o conjunto
onde agora
fica livre. Isso gera outro cilindro parabólico, mas desta vez com a parábola no plano
(vértice na origem e abrindo em
), estendido ao longo do eixo
.
Resposta
(a) Em
: a parábola com vértice na origem e que abre para cima, ou seja
(b) Em
: o cilindro parabólico obtido estendendo essa parábola ao longo do eixo
, isto é
(c) Em
: outro cilindro parabólico, desta vez estendendo a parábola
ao longo do eixo
, ou seja