(a) What does the equation y=x^{2} represent as a curve in \mathbb{R}^{2} ?
(b) What does it represent as a surface in \mathbb{R}^{3} ?
(c) What does the equation z=y^{2} represent?

Passo 1

O enunciado pede para interpretar geometricamente duas equações em diferentes espaços:
– Em \mathbb{R}^2, o que significa a curva dada por
y = x^2
– Em \mathbb{R}^3, o que significa a superfície dada por
y = x^2
e também
z = y^2.
Para responder, vamos usar a noção de gráfico de função e de conjunto de nível em cada caso.

Passo 2

Como curva em \mathbb{R}^2, a equação
y = x^2
é justamente o gráfico da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2.
Ou seja, é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = x^2\},
que é a parábola típica com vértice na origem e que abre para cima.

Passo 3

Em \mathbb{R}^3, a equação
y = x^2
define o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y = x^2\}.
Aqui o z é livre, ou seja, para cada ponto (x,y) da parábola em \mathbb{R}^2 temos toda a reta paralela ao eixo z. Geometricamente, isso forma um cilindro com seção transversal parabólica — chamado parabolic cylinder ou cilindro parabólico — estendido ao longo do eixo z.

Passo 4

Também em \mathbb{R}^3, a equação
z = y^2
é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = y^2\},
onde agora x fica livre. Isso gera outro cilindro parabólico, mas desta vez com a parábola no plano y - z (vértice na origem e abrindo em z\ge0), estendido ao longo do eixo x.

Resposta

(a) Em \mathbb{R}^2: a parábola com vértice na origem e que abre para cima, ou seja
\{(x,y)\mid y=x^2\}.
(b) Em \mathbb{R}^3: o cilindro parabólico obtido estendendo essa parábola ao longo do eixo z, isto é
\{(x,y,z)\mid y=x^2\}.
(c) Em \mathbb{R}^3: outro cilindro parabólico, desta vez estendendo a parábola z=y^2 ao longo do eixo x, ou seja
\{(x,y,z)\mid z=y^2\}.

Exercícios relacionados