Verifique se as bases E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) têm mesma orientação nos casos:
O enunciado pede para verificar se as bases E=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}) e F=(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) têm a mesma orientação. As informações dadas são as expressões das vetores de F na base E:
O que vamos usar (aula rápida e prática): para comparar orientações de duas bases em \mathbb{R}^{3}, montamos a matriz de mudança de base que tem como colunas as coordenadas dos vetores da nova base F em relação à base antiga E. Se essa matriz tem determinante positivo então as bases têm a mesma orientação; se o determinante for negativo então as orientações são opostas. Aqui eu já estou te explicando o porquê de usar determinante: o determinante mede a “mudança de sinal/volume” quando trocamos base — sinal do determinante indica preservação (>0) ou inversão (<0) da orientação.
Passo 3
Escrevendo as coordenadas de cada \vec{f}_{i} na base E:
Interpretação final: obtivemos \det A = -4, que é um número negativo. O sinal negativo do determinante indica que a transformação de E para F inverte a orientação. Portanto as bases não têm a mesma orientação — elas têm orientações opostas. (O valor absoluto |\det A|=4 fala do fator de escala do volume, mas só o sinal importa para orientação.)
Resposta
Não. As bases têm orientações opostas, pois \det A=-4<0.