Verifique se as bases E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) têm mesma orientação nos casos:
\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \\overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as bases E=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}) e F=(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) têm a mesma orientação. As informações dadas são as expressões das vetores de F na base E:
\begin{cases} \vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+\vec{e}_{3},\\[4pt] \vec{f}_{2}=\vec{e}_{2}+\vec{e}_{3},\\[4pt] \vec{f}_{3}=\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2}-\vec{e}_{3}. \end{cases}]

Passo 2

O que vamos usar (aula rápida e prática): para comparar orientações de duas bases em \mathbb{R}^{3}, montamos a matriz de mudança de base que tem como colunas as coordenadas dos vetores da nova base F em relação à base antiga E. Se essa matriz tem determinante positivo então as bases têm a mesma orientação; se o determinante for negativo então as orientações são opostas. Aqui eu já estou te explicando o porquê de usar determinante: o determinante mede a “mudança de sinal/volume” quando trocamos base — sinal do determinante indica preservação ( >0) ou inversão ( <0) da orientação.

Passo 3

Escrevendo as coordenadas de cada \vec{f}_{i} na base E:
\vec{f}_{1}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \vec{f}_{2}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \vec{f}_{3}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Esses são os vetores-coluna que formam a matriz de transformação de E para F.

Passo 4

Montamos a matriz A cujas colunas são as coordenadas acima:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos o determinante de A. Vou fazer a expansão pela primeira linha (regra de Sarrus ou cofactores; aqui uso cofactores na primeira linha):
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo os determinantes 2\times2 que apareceram:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot1=-1-1=-2.]

Passo 7

Substituindo os valores na expressão de \det A:
\det A = 1\cdot(-2) - 0\cdot(\cdots) + 1\cdot(-2) = -2 + 0 -2 = -4.

Passo 8

Interpretação final: obtivemos \det A = -4, que é um número negativo. O sinal negativo do determinante indica que a transformação de E para F inverte a orientação. Portanto as bases não têm a mesma orientação — elas têm orientações opostas. (O valor absoluto |\det A|=4 fala do fator de escala do volume, mas só o sinal importa para orientação.)

Resposta

Não. As bases têm orientações opostas, pois \det A=-4<0.

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