Verifique se as bases E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) têm mesma orientação nos casos:
O enunciado dá duas bases E=\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right)\) e \(F=\left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right)\) e fornece as expressões de cada vetor de \(F\) em função dos vetores de \(E\):
\[\begin{cases} \vec{f}_{1}=\vec{e}_{1},\\[4pt] \vec{f}_{2}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3},\\[4pt] \vec{f}_{3}=\vec{e}_{2}. \end{cases}
A pergunta é: as bases E\] e \(F têm a mesma orientação?]
Passo 2
Primeiro vamos entender o critério que vamos usar (de forma direta e prática): duas bases ordenadas de um espaço vetorial de dimensão 3 têm a mesma orientação se, e só se, o determinante da matriz de mudança de base de uma para a outra é positivo. Aqui vamos construir a matriz de mudança de base de E para F (ou, equivalentemente, a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de F na base E) e verificar o sinal do seu determinante.
Explicando isso sem frescuras: se escrevo cada \vec{f}_j como combinação linear dos \vec{e}_i, coloco essas coordenadas como colunas numa matriz P. Então \det(P)>0 significa mesma orientação; \det(P)<0 significa orientação oposta.
Passo 3
Vamos escrever as coordenadas de cada \vec{f}_j em relação à base E.
Para \vec{f}_{1}=\vec{e}_{1} as coordenadas são \bigl(1,0,0\bigr)^{T}.
Para \vec{f}_{2}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3} as coordenadas são \bigl(1,0,-1\bigr)^{T}.
Para \vec{f}_{3}=\vec{e}_{2} as coordenadas são \bigl(0,1,0\bigr)^{T}.
Passo 4
Formamos a matriz P cujas colunas são as coordenadas acima (coluna j = coordenadas de \vec{f}_{j} em E):
Encontramos \det(P)=1, que é positivo. Pelo critério explicado, isso significa que as bases E e F têm a mesma orientação. Força aí — esse tipo de conta é sempre só montar a matriz das coordenadas e checar o sinal do determinante; com prática fica automático.