Verifique se as bases E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) têm mesma orientação nos casos:
\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}} \\overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}} \\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{2}}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas bases E=\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right)\) e \(F=\left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right)\) e fornece as expressões de cada vetor de \(F\) em função dos vetores de \(E\): \[\begin{cases} \vec{f}_{1}=\vec{e}_{1},\\[4pt] \vec{f}_{2}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3},\\[4pt] \vec{f}_{3}=\vec{e}_{2}. \end{cases}
A pergunta é: as bases E\] e \(F têm a mesma orientação?]

Passo 2

Primeiro vamos entender o critério que vamos usar (de forma direta e prática): duas bases ordenadas de um espaço vetorial de dimensão 3 têm a mesma orientação se, e só se, o determinante da matriz de mudança de base de uma para a outra é positivo. Aqui vamos construir a matriz de mudança de base de E para F (ou, equivalentemente, a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de F na base E) e verificar o sinal do seu determinante.
Explicando isso sem frescuras: se escrevo cada \vec{f}_j como combinação linear dos \vec{e}_i, coloco essas coordenadas como colunas numa matriz P. Então \det(P)>0 significa mesma orientação; \det(P)<0 significa orientação oposta.

Passo 3

Vamos escrever as coordenadas de cada \vec{f}_j em relação à base E.
  • Para \vec{f}_{1}=\vec{e}_{1} as coordenadas são \bigl(1,0,0\bigr)^{T}.
  • Para \vec{f}_{2}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3} as coordenadas são \bigl(1,0,-1\bigr)^{T}.
  • Para \vec{f}_{3}=\vec{e}_{2} as coordenadas são \bigl(0,1,0\bigr)^{T}.

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são as coordenadas acima (coluna j = coordenadas de \vec{f}_{j} em E):
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos calcular o determinante de P. Para matrizes 3\times3 uma forma prática é expandir pela primeira linha. Se
P=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
então
\det(P)=a\,(ei-fh)-b\,(di-fg)+c\,(dh-eg).
Nós aplicaremos essa mesma fórmula com os elementos de P.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso P, temos a=1, b=1, c=0, d=0, e=0, f=1, g=0, h=-1, i=0. Substituindo:
\det(P)=1\cdot(0\cdot0-1\cdot(-1)) - 1\cdot(0\cdot0-1\cdot0) + 0\cdot(\cdots).
Calcule cada parte:
0\cdot0-1\cdot(-1)=0-(-1)=1,
0\cdot0-1\cdot0=0.
Logo
\det(P)=1\cdot 1 - 1\cdot 0 + 0 = 1.

Passo 7

Encontramos \det(P)=1, que é positivo. Pelo critério explicado, isso significa que as bases E e F têm a mesma orientação. Força aí — esse tipo de conta é sempre só montar a matriz das coordenadas e checar o sinal do determinante; com prática fica automático.

Resposta

Sim — as bases têm a mesma orientação.

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