1. Uma circunferência de raio 14 cm circunscreve um triângulo ABC . Calcule a medida do lado AB , sabendo-se que o triângulo ABC não é retângulo e que o ângulo \angle A C B mede 30^{\circ}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Foi dada uma circunferência de raio \,14\\ \text{cm}\,. Vou chamar esse raio de R, portanto \;R=14\\ \text{cm}.
  • O triângulo inscrito é ABC e foi informado que \angle A C B = 30^\circ. Em notação usual, esse é o ângulo \angle C, ou seja \;C=30^\circ.
  • O enunciado pede a medida do lado AB. Em notação de lados opostos aos vértices, esse lado é o lado c (o lado oposto ao vértice C): \;c=AB.
  • Foi dito que o triângulo ABC não é retângulo. (Essa informação evita ambiguidades relacionadas ao caso do diâmetro produzindo ângulo reto, mas não afeta o cálculo aqui.)
Resumo do que sabemos e do que queremos:
  • Dado: \;R=14\\ \text{cm} e \;C=30^\circ.
  • Procuramos: \;c=AB.

Passo 2

Explicação do conceito-chave que vou usar (de forma bem didática).
Há duas maneiras equivalentes e simples de relacionar o lado AB com o raio da circunferência circunscrita: pela relação entre ângulo inscrito e ângulo central ou pela lei dos senos (fórmula que liga lados ao raio circunscrito). Vou usar a ideia geométrica do ângulo central porque é bem direto.
  • Teorema do ângulo inscrito: o ângulo inscrito que subtende um arco tem medida igual à metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Aqui, o ângulo inscrito \angle C subtende o arco AB. Logo o ângulo central correspondente (o ângulo \angle AOB, com O centro da circunferência) tem medida \;2C.
  • Considere o triângulo isósceles AOB com OA=OB=R e ângulo no centro \angle AOB = 2C. Se traçar a mediatriz de AB passando por O, obtém-se um triângulo retângulo cuja cateto (metade do comprimento de AB) é AB/2 e a hipotenusa é R. Nesse triângulo retângulo a razão entre cateto e hipotenusa é o seno do ângulo formado, que é precisamente C. Assim obtemos a fórmula do comprimento do corda AB:
AB = 2R\sin C.
Observação alternativa (razão com a lei dos senos): a lei dos senos diz que
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,
o que também dá diretamente \;c=2R\sin C. As duas justificativas chegam à mesma fórmula.

Passo 3

Aplicar a fórmula encontrada ao caso concreto.
Usando a fórmula
c = 2R\sin C,
substituímos \;R=14\\ \text{cm} e \;C=30^\circ:
c = 2\cdot 14\cdot \sin 30^\circ.

Passo 4

Calcular \sin 30^\circ e efetuar a multiplicação.
Recordando um valor trigonométrico básico: \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}. Então
c = 2\cdot 14\cdot \frac{1}{2}.
Agora simplifico passo a passo:
2\cdot 14 = 28,
28\cdot \frac{1}{2} = 14.
Portanto c = 14\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida (para ficar mais seguro).
  • O resultado significa que a corda AB tem exatamente o mesmo comprimento que o raio da circunferência circunscrita.
  • Faz sentido geométrico: como \angle C=30^\circ, o ângulo central correspondente vale 60^\circ. Num triângulo isósceles com lados R,R e ângulo do meio 60^\circ, a base (a corda) vale R — isso confirma o cálculo.

Resposta

14\\ \text{cm}

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