- Uma circunferência de raio 14 cm circunscreve um triângulo ABC . Calcule a medida do lado AB , sabendo-se que o triângulo ABC não é retângulo e que o ângulo
mede
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Foi dada uma circunferência de raio
. Vou chamar esse raio de , portanto - O triângulo inscrito é
e foi informado que . Em notação usual, esse é o ângulo , ou seja - O enunciado pede a medida do lado
. Em notação de lados opostos aos vértices, esse lado é o lado (o lado oposto ao vértice ): - Foi dito que o triângulo
não é retângulo. (Essa informação evita ambiguidades relacionadas ao caso do diâmetro produzindo ângulo reto, mas não afeta o cálculo aqui.)
Resumo do que sabemos e do que queremos:
- Dado:
e . - Procuramos:
.
Passo 2
Explicação do conceito-chave que vou usar (de forma bem didática).
Há duas maneiras equivalentes e simples de relacionar o lado
com o raio da circunferência circunscrita: pela relação entre ângulo inscrito e ângulo central ou pela lei dos senos (fórmula que liga lados ao raio circunscrito). Vou usar a ideia geométrica do ângulo central porque é bem direto.
- Teorema do ângulo inscrito: o ângulo inscrito que subtende um arco tem medida igual à metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Aqui, o ângulo inscrito
subtende o arco . Logo o ângulo central correspondente (o ângulo , com centro da circunferência) tem medida . - Considere o triângulo isósceles
com e ângulo no centro . Se traçar a mediatriz de passando por , obtém-se um triângulo retângulo cuja cateto (metade do comprimento de ) é e a hipotenusa é . Nesse triângulo retângulo a razão entre cateto e hipotenusa é o seno do ângulo formado, que é precisamente . Assim obtemos a fórmula do comprimento do corda :
Observação alternativa (razão com a lei dos senos): a lei dos senos diz que
o que também dá diretamente
. As duas justificativas chegam à mesma fórmula.
Passo 3
Aplicar a fórmula encontrada ao caso concreto.
Usando a fórmula
substituímos
e
:
Passo 4
Calcular
e efetuar a multiplicação.
Recordando um valor trigonométrico básico:
Então
Agora simplifico passo a passo:
Portanto
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida (para ficar mais seguro).
- O resultado significa que a corda
tem exatamente o mesmo comprimento que o raio da circunferência circunscrita. - Faz sentido geométrico: como
, o ângulo central correspondente vale . Num triângulo isósceles com lados e ângulo do meio , a base (a corda) vale — isso confirma o cálculo.