Um triângulo acutângulo, possui lados medindo 18 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm} \mathrm{e} k \mathrm{~cm}. Quantos valores inteiros k pode assumir?

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo com lados medindo 18 cm, 10 cm e k cm, e pede quantos valores inteiros de k fazem esse triângulo ser acutângulo (todos os ângulos menores que 90^\circ). O que vamos usar é a desigualdade triangular para existência do triângulo e a condição de acutângulo que envolve soma de quadrados dos lados.

Passo 2

Para existir triângulo, k deve satisfazer as desigualdades triangulares
|18 - 10| < k < 18 + 10
logo
8 < k < 28
Como k é inteiro, isso dá
9 \le k \le 27.

Passo 3

Um triângulo com lados a,b,c (sendo c o maior) é acutângulo se e somente se
a^2 + b^2 > c^2.
Aqui devemos identificar qual é o maior lado em função de k e impor essa desigualdade.

Passo 4

Caso k\ge 18, o maior lado é k. A condição de acutângulo fica
18^2 + 10^2 > k^2 \quad\Longrightarrow\quad 324 + 100 > k^2 \quad\Longrightarrow\quad k^2 < 424 \quad\Longrightarrow\quad k < \sqrt{424}\approx 20{,}59.
Juntando com k\ge 18 e integral, obtemos k = 18, 19, 20.

Passo 5

Caso k \le 18, o maior lado é 18. A condição de acutângulo fica
10^2 + k^2 > 18^2 \quad\Longrightarrow\quad 100 + k^2 > 324 \quad\Longrightarrow\quad k^2 > 224 \quad\Longrightarrow\quad k > \sqrt{224}\approx 14{,}97.
Com 9 \le k \le 18 e integral, isso dá k = 15, 16, 17, 18.

Passo 6

Unindo os dois casos, os valores inteiros de k que satisfazem existência e acutângulo são
15, 16, 17, 18, 19, 20,
totalizando 6 valores.

Resposta

6

Exercícios relacionados