De um triângulo A B C, sabemos que A(1,0,2), B(3,1,1) e A C^circ=(raiz22, 0, raiz22). Determine a altura do triângulo A B C em relação à base A C.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com
A=(1,0,2), B=(3,1,1)
e a direção de AC na forma de vetor unitário
u = AC^circ = l(tfracraiz22,0,tfracraiz22r)
Queremos a altura relativa à base AC, isto é, a distância do ponto B à reta que passa por A na direção u.

Passo 2

Em geometria no espaço, a distância de um ponto P à reta que passa por A com direção unitária u é
dist = l|,(P - A)times ur|
Aqui P=B. Calculamos primeiro
AB = B - A = (3-1,,1-0,,1-2) = (2,1,-1)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial
ABtimes u = i & j & k 2 & 1 & -1 raiz22 & 0 & raiz22 = l(tfracraiz22,,-tfrac3raiz22,,-tfracraiz22r)

Passo 4

A norma desse vetor é
l|ABtimes ur| = raizl(tfracraiz22r)^2 + l(-tfrac3raiz22r)^2 + l(-tfracraiz22r)^2 = raiztfrac12+tfrac92+tfrac12 = raiztfrac112

Resposta

A altura do triângulo em relação à base AC é
boxedh = raiztfrac112 ;=;tfracraiz222

Exercícios relacionados