Em um triângulo equilátero
qualquer, sejam
e
os pontos médios dos lados
e
, respectivamente. Mostre que o triângulo MNP é equilátero.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo equilátero
. Os pontos
,
e
são, respectivamente, os pontos médios de
,
e
. Precisamos mostrar que o triângulo
também é equilátero. Vamos usar o Teorema da linha média em triângulos e a propriedade de que todos os lados de um triângulo equilátero são iguais.
Passo 2
Em
, como
e
são pontos médios de
e
, o Teorema da linha média garante que
e
Passo 3
Analogamente, em
:
Passo 4
Como
é equilátero,
. Substituindo nas expressões dos lados de
obtemos
Logo, todos os lados de
são iguais.
Resposta
O triângulo
é equilátero.