Em um triângulo equilátero A B C qualquer, sejam M, N e P os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente. Mostre que o triângulo MNP é equilátero.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo equilátero ABC. Os pontos M, N e P são, respectivamente, os pontos médios de AB, BC e CA. Precisamos mostrar que o triângulo MNP também é equilátero. Vamos usar o Teorema da linha média em triângulos e a propriedade de que todos os lados de um triângulo equilátero são iguais.

Passo 2

Em triang<= ABC, como M e N são pontos médios de AB e BC, o Teorema da linha média garante que
MN paral<=l AC
e
MN = tfrac12,AC

Passo 3

Analogamente, em triang<= ABC:
NP paral<=l AB e NP = tfrac12,AB,
PM paral<=l BC e PM = tfrac12,BC

Passo 4

Como ABC é equilátero, AB = BC = CA. Substituindo nas expressões dos lados de MNP obtemos
MN = NP = PM = tfrac12,AB
Logo, todos os lados de triang<= MNP são iguais.

Resposta

O triângulo MNP é equilátero.

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