Exercício 4

(1,25 Ponto) a) Seja u in S^prime(R^n) uma solução da equação
u+De<a u=0
em que De<a:=sumj=1^n partial^2partial xj^2. Calcule a Transformada de Fourier da equação acima e mostre que o suporte de F(u) está contido no conjunto xi in R^n:|xi|=1.
(1,25 Ponto) b) Mostre que, se u in S^prime(R^n) é uma solução de u+De<a u=0, então u é uma função que admite uma extensão holomorfa em C^n e para a qual existem constantes C>0 e N in N0 tais que
|u(z)| <= C(1+|z|)^N e^|Im(z)|, forall z in C^n

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição temperada uinS'(R^n) que resolve
u + De<a u = 0
no espaço real. Precisamos (a) aplicar a Transformada de Fourier para achar uma relação em hat u:=F(u) e deduzir o suporte de hat u; (b) usar o resultado de suporte compacto e o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz para concluir que u se estende holomorficamente a C^n com o crescimento pedido.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Fourier à equação. Sabendo que
F(De<a u)(xi) ;=;-,|xi|^2,hat u(xi),
temos
F(u+De<a u)(xi) =hat u(xi)-|xi|^2hat u(xi) =(1-|xi|^2),hat u(xi)=0
em S'(R^n).

Passo 3

A relação
(1-|xi|^2),hat u(xi)=0
diz que, como distribuição, hat u só pode viver onde 1-|xi|^2=0. Logo
supphat u;subset;xiinR^n:|xi|=1,
que é um conjunto compacto (a esfera unidade).

Passo 4

Pelo Teorema de Paley–Wiener–Schwartz, toda distribuição temperada cujo suporte está contido em uma bola (ou esfera) de raio R tem transformada inversa que se estende a uma função inteira em C^n com crescimento do tipo
|u(z)|;<=;C,(1+|z|)^N,e^R,|Im z|
Aqui R=1, pois supphat usubset|xi|=1.

Resposta

u estende-se a toda C^n como função holomorfa e existem constantes C>0, NinN0 tais que
|u(z)|<= C,(1+|z|)^N,e^|Im z|,
para todo zinC^n.

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