Exercício 4
(1,25 Ponto) a) Seja
uma solução da equação
em que
. Calcule a Transformada de Fourier da equação acima e mostre que o suporte de
está contido no conjunto
.
(1,25 Ponto) b) Mostre que, se
é uma solução de
, então
é uma função que admite uma extensão holomorfa em
e para a qual existem constantes
e
tais que
(1,25 Ponto) b) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado nos dá uma distribuição temperada
que resolve
no espaço real. Precisamos (a) aplicar a Transformada de Fourier para achar uma relação em
e deduzir o suporte de
; (b) usar o resultado de suporte compacto e o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz para concluir que
se estende holomorficamente a
com o crescimento pedido.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Fourier à equação. Sabendo que
temos
em
.
Passo 3
A relação
diz que, como distribuição,
só pode viver onde
. Logo
que é um conjunto compacto (a esfera unidade).
Passo 4
Pelo Teorema de Paley–Wiener–Schwartz, toda distribuição temperada cujo suporte está contido em uma bola (ou esfera) de raio
tem transformada inversa que se estende a uma função inteira em
com crescimento do tipo
Aqui
, pois
.
Resposta
para todo
.