Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 \mathrm{~cm}. Determine
a) o comprimento de cada lado do triângulo.
b) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. O hexágono tem lado \,1,5 cm. Vamos precisar das fórmulas de perímetro de polígono regular e das áreas de triângulo equilátero e de hexágono regular (que é formado por 6 triângulos equiláteros).

Passo 2

Calculamos primeiro o perímetro do hexágono regular de lado \,1,5 cm. Como ele tem 6 lados iguais,
P_{\hexagon} = 6 \times 1,5 = 9\text{ cm}.

Passo 3

Como o triângulo equilátero tem o mesmo perímetro, seu lado L satisfaz
3L = 9 \quad\Longrightarrow\quad L = 3\text{ cm}.

Passo 4

A área de um hexágono regular de lado s pode ser vista como 6 triângulos equiláteros de lado s, cada um com área \displaystyle\frac{\sqrt3}{4}s^2. Então
A_{\hexagon} = 6 \times \frac{\sqrt3}{4}\,s^2 = \frac{3\sqrt3}{2}\,s^2.
Substituindo s=1,5, temos
A_{\hexagon} = \frac{3\sqrt3}{2}\,(1,5)^2 = \frac{3\sqrt3}{2}\times2{,}25 = \frac{6{,}75\sqrt3}{2} = 3{,}375\sqrt3\text{ cm}^2.

Passo 5

A área de um triângulo equilátero de lado L é
A_{\triangle} = \frac{\sqrt3}{4}\,L^2.
Com L=3,
A_{\triangle} = \frac{\sqrt3}{4}\times3^2 = \frac{9\sqrt3}{4} = 2{,}25\sqrt3\text{ cm}^2.

Passo 6

A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo é
\frac{A_{\hexagon}}{A_{\triangle}} = \frac{3{,}375\sqrt3}{2{,}25\sqrt3} = \frac{3{,}375}{2{,}25} = 1{,}5 = \frac{3}{2}.

Resposta

(a) 3 cm
(b) \displaystyle\frac{A_{\hexagon}}{A_{\triangle}}=\frac{3}{2} (ou 1{,}5)

Exercícios relacionados