Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.
a) Determine o comprimento de cada uma das partes do fio.
b) Calcule a área dos quadrados formados.

Passo 1

O enunciado diz que um fio de 48\text{ cm} é cortado em duas partes para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. Vamos usar os conceitos de perímetro e área do quadrado para encontrar os comprimentos dos pedaços e as áreas correspondentes.

Passo 2

Denotemos por L_1 e L_2 os comprimentos dos dois pedaços do fio, de modo que
L_1 + L_2 = 48.
Cada um desses pedaços será o perímetro de um quadrado. Logo, os lados desses quadrados valem
s_1 = \frac{L_1}{4}, \quad s_2 = \frac{L_2}{4}.

Passo 3

A área do quadrado de lado s_1 é s_1^2 e a do quadrado de lado s_2 é s_2^2. Como uma área é quatro vezes a outra, podemos assumir sem perda de generalidade que
s_2^2 = 4\,s_1^2.
Substituindo s_1 e s_2 em função de L_1 e L_2, temos
\biggl(\frac{L_2}{4}\biggr)^2 = 4 \,\biggl(\frac{L_1}{4}\biggr)^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{L_2^2}{16} = \frac{4\,L_1^2}{16} \quad\Longrightarrow\quad L_2^2 = 4\,L_1^2 \quad\Longrightarrow\quad L_2 = 2\,L_1.

Passo 4

Agora usamos L_1 + L_2 = 48 e L_2 = 2\,L_1:
L_1 + 2\,L_1 = 48 \quad\Longrightarrow\quad 3\,L_1 = 48 \quad\Longrightarrow\quad L_1 = 16\text{ cm},
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L_2 = 2\,L_1 = 32\text{ cm}.

Passo 5

Calculamos os lados e as áreas dos quadrados:
s_1 = \frac{L_1}{4} = \frac{16}{4} = 4\text{ cm}, \quad s_2 = \frac{L_2}{4} = \frac{32}{4} = 8\text{ cm}.
\text{Área menor} = s_1^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2, \quad \text{Área maior} = s_2^2 = 8^2 = 64\text{ cm}^2.ÁÁ

Resposta

O fio deve ser cortado em 16\text{ cm} e 32\text{ cm}.
As áreas dos quadrados formados são 16\text{ cm}^2 e 64\text{ cm}^2, sendo a maior quatro vezes a menor.

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