Um triângulo retângulo, cuja medida dos lados são números inteiros, pode possuir dois catetos ímpares? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se um triângulo retângulo com medidas dos lados inteiros pode ter os dois catetos ímpares. Dados claros do problema:
- Os comprimentos dos lados são números inteiros.
- Os dois catetos (os catetos são os lados que formam o ângulo reto) seriam ímpares.
O que se pede: responder se isso é possível e justificar.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa par e ímpar de forma bem direta e com exemplos muito simples.
- Um inteiro é par quando pode ser escrito como
para algum inteiro . Exemplos: , . - Um inteiro é ímpar quando pode ser escrito como
para algum inteiro . Exemplos: , .
Esse é o jeito padrão de representar números pares e ímpares, e vamos usar isso nas contas.
Passo 3
Para um triângulo retângulo valem o Teorema de Pitágoras e suas consequências. Se
e
são os catetos inteiros e
é a hipotenusa inteira, então vale
Nosso objetivo é ver se é possível ter
e
ímpares satisfazendo essa igualdade com
inteiro.
Passo 4
Um fato muito útil sobre quadrados inteiros módulo
(isto é, resto da divisão por
) será usado. Vamos ver por que um quadrado inteiro só pode ser congruente a
ou
módulo
.
- Se um inteiro
é par, então e
logo
é múltiplo de
, isto é,
.
- Se
é ímpar, então e
logo
.
Portanto, para qualquer inteiro vale
Portanto, para qualquer inteiro
Passo 5
Agora suponha, para buscar uma contradição, que os dois catetos sejam ímpares. Escrevemos
para alguns inteiros
. Calculamos
:
Agrupando termos:
Assim existe um inteiro
tal que
ou seja,
Passo 6
Pelo Teorema de Pitágoras temos
. Então
. Mas isso entra em contradição direta com o fato do Passo 4, que afirma que todo quadrado inteiro só pode ser congruente a
ou
módulo
. Não existe inteiro cujo quadrado seja congruente a
módulo
.
Passo 7
Como chegamos a uma contradição ao supor que os dois catetos são ímpares, a suposição está errada. Logo não é possível que ambos os catetos sejam ímpares em um triângulo retângulo com lados inteiros.
Comentário extra (útil para a prova): isso implica que, em qualquer tripla pitagórica (triângulo retângulo com lados inteiros), não podem ocorrer os dois catetos ímpares. Na prática, um dos catetos é sempre par e o outro ímpar; a hipotenusa fica ímpar (por exemplo, no clássico o cateto
é ímpar,
é par e
é ímpar). Se os dois catetos fossem ambos pares então todos os lados teriam fator comum
, e a tripla seria não primitiva (podia dividir tudo por
). Então, resumindo: não ambos ímpares; pelo menos um dos catetos é par.
Comentário extra (útil para a prova): isso implica que, em qualquer tripla pitagórica (triângulo retângulo com lados inteiros), não podem ocorrer os dois catetos ímpares. Na prática, um dos catetos é sempre par e o outro ímpar; a hipotenusa fica ímpar (por exemplo, no clássico
Resposta
Não. Não é possível: se os dois catetos fossem ímpares então
, o que é impossível porque quadrados inteiros só podem ser congruentes a
ou
módulo
.