Um triângulo retângulo, cuja medida dos lados são números inteiros, pode possuir dois catetos ímpares? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se um triângulo retângulo com medidas dos lados inteiros pode ter os dois catetos ímpares. Dados claros do problema:
  • Os comprimentos dos lados são números inteiros.
  • Os dois catetos (os catetos são os lados que formam o ângulo reto) seriam ímpares.
    O que se pede: responder se isso é possível e justificar.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa par e ímpar de forma bem direta e com exemplos muito simples.
  • Um inteiro é par quando pode ser escrito como 2k para algum inteiro k. Exemplos: 0=2\cdot0, 4=2\cdot2.
  • Um inteiro é ímpar quando pode ser escrito como 2k+1 para algum inteiro k. Exemplos: 1=2\cdot0+1, 7=2\cdot3+1.
    Esse é o jeito padrão de representar números pares e ímpares, e vamos usar isso nas contas.

Passo 3

Para um triângulo retângulo valem o Teorema de Pitágoras e suas consequências. Se a e b são os catetos inteiros e c é a hipotenusa inteira, então vale
a^2 + b^2 = c^2.
Nosso objetivo é ver se é possível ter a e b ímpares satisfazendo essa igualdade com c inteiro.

Passo 4

Um fato muito útil sobre quadrados inteiros módulo 4 (isto é, resto da divisão por 4) será usado. Vamos ver por que um quadrado inteiro só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 4.
  • Se um inteiro x é par, então x=2k e
x^2=(2k)^2=4k^2,
logo x^2 é múltiplo de 4, isto é, x^2\equiv 0\pmod{4}.
  • Se x é ímpar, então x=2k+1 e
x^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1,
logo x^2\equiv 1\pmod{4}.
Portanto, para qualquer inteiro x vale
x^2\equiv 0\\ \text{ou}\\\ 1\pmod{4}.

Passo 5

Agora suponha, para buscar uma contradição, que os dois catetos sejam ímpares. Escrevemos
a=2m+1,\qquad b=2n+1
para alguns inteiros m,n. Calculamos a^2+b^2:
a^2+b^2=(2m+1)^2+(2n+1)^2 =4m^2+4m+1+4n^2+4n+1.
Agrupando termos:
a^2+b^2=4(m^2+m+n^2+n)+2.
Assim existe um inteiro t=m^2+m+n^2+n tal que
a^2+b^2=4t+2,
ou seja,
a^2+b^2\equiv 2\pmod{4}.

Passo 6

Pelo Teorema de Pitágoras temos a^2+b^2=c^2. Então c^2\equiv 2\pmod{4}. Mas isso entra em contradição direta com o fato do Passo 4, que afirma que todo quadrado inteiro só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 4. Não existe inteiro cujo quadrado seja congruente a 2 módulo 4.

Passo 7

Como chegamos a uma contradição ao supor que os dois catetos são ímpares, a suposição está errada. Logo não é possível que ambos os catetos sejam ímpares em um triângulo retângulo com lados inteiros.
Comentário extra (útil para a prova): isso implica que, em qualquer tripla pitagórica (triângulo retângulo com lados inteiros), não podem ocorrer os dois catetos ímpares. Na prática, um dos catetos é sempre par e o outro ímpar; a hipotenusa fica ímpar (por exemplo, no clássico (3,4,5) o cateto 3 é ímpar, 4 é par e 5 é ímpar). Se os dois catetos fossem ambos pares então todos os lados teriam fator comum 2, e a tripla seria não primitiva (podia dividir tudo por 2). Então, resumindo: não ambos ímpares; pelo menos um dos catetos é par.

Resposta

Não. Não é possível: se os dois catetos fossem ímpares então a^2+b^2\equiv 2\pmod{4}, o que é impossível porque quadrados inteiros só podem ser congruentes a 0 ou 1 módulo 4.

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