Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação da seção cônica
e pede para esboçar o gráfico das hipérboles e traçar as assíntotas.
Informações dadas (já extraídas do enunciado):
Informações dadas (já extraídas do enunciado):
- A equação é
. - Não foram fornecidos outros dados; tudo que precisamos vem dessa equação.
O que se pede: - Desenhar (esboçar) as duas ramas da hipérbole correspondente e indicar as suas assíntotas.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão e identificar os parâmetros importantes.
A forma padrão de uma hipérbole com eixos centrados na origem e ramo horizontal é
A forma padrão de uma hipérbole com eixos centrados na origem e ramo horizontal é
onde
e
. Comparando com a equação dada, obtemos
Portanto
Explicação breve do que significam
e
:
é a semi‑distância da origem ao(s) vértice(s) ao longo do eixo
(transverse axis);
define a “largura” da caixa auxiliar que ajuda a desenhar as assíntotas.
Passo 3
Localizar o centro e os vértices.
Para a forma com centro na origem:
Para a forma
- Centro:
. - Vértices:
. Substituindo ,
Passo 4
Determinar domínio e interceptos importantes.
Da equação isolamos :
Da equação isolamos
logo
Para que o radicando seja não negativo precisamos de
Portanto o domínio da curva é
. Não existem interceptos com o eixo
porque
não satisfaz a equação; os interceptos com o eixo
são justamente os vértices
.
Passo 5
Encontrar as assíntotas por fórmula padrão e também justificar por limite.
Para a hipérbole na forma as assíntotas são as retas
Para a hipérbole na forma
Justificativa rápida: dividir a equação por
(para
) dá
ou rearranjando para
e fazendo
obtém‑se
. Substituindo
e
,
Passo 6
Método geométrico prático (sem cálculo): retângulo auxiliar e diagonais.
Uma maneira bem prática para esboçar as assimptotas é:
Uma maneira bem prática para esboçar as assimptotas é:
- Marcar no plano o retângulo cujos vértices são
. - As diagonais desse retângulo têm equações
, ou seja ; essas diagonais são precisamente as assíntotas.
Esse é um truque clássico: desenha-se o retângulo central e traçam-se suas diagonais para obter as retas guia.
Passo 7
Pontos adicionais para guiar o esboço das ramas.
Calcule alguns pontos para (o caso
é simétrico em relação à origem):
Calcule alguns pontos para
- Para
:
- Para
:
Esses pontos mostram que as ramas começam em
(onde
) e vão subindo/descendo aproximando‑se das retas
conforme
aumenta.
Passo 8
Localizar focos (opcional, útil para entendimento da curva).
Para hipérbole horizontal vale . Aqui
Para hipérbole horizontal vale
Portanto os focos ficam em
. Isso não é necessário para as assíntotas, mas ajuda a entender a posição dos ramos.
Passo 9
Instrução passo a passo para desenhar à mão (sem calculadora):
- Desenhar eixos
e e marcar o centro . - Marcar os vértices
e . - Desenhar o retângulo com cantos em
. - Traçar as diagonais do retângulo; essas diagonais são as assíntotas
. - Plotar os pontos calculados (por ex.
, ) e esboçar as duas ramas que passam pelos vértices e se aproximam das diagonais à medida que .
Dica de desenho: as ramas são simétricas em relação à origem (centro) e têm formato aberto em direções +x e -x.