Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação da seção cônica
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1
e pede para esboçar o gráfico das hipérboles e traçar as assíntotas.
Informações dadas (já extraídas do enunciado):
  • A equação é \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{1}=1.
  • Não foram fornecidos outros dados; tudo que precisamos vem dessa equação.
    O que se pede:
  • Desenhar (esboçar) as duas ramas da hipérbole correspondente e indicar as suas assíntotas.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão e identificar os parâmetros importantes.
A forma padrão de uma hipérbole com eixos centrados na origem e ramo horizontal é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde \,a>0 e \,b>0. Comparando com a equação dada, obtemos
a^{2}=4,\qquad b^{2}=1.
Portanto
a=2,\qquad b=1.
Explicação breve do que significam a e b: a é a semi‑distância da origem ao(s) vértice(s) ao longo do eixo x (transverse axis); b define a “largura” da caixa auxiliar que ajuda a desenhar as assíntotas.

Passo 3

Localizar o centro e os vértices.
Para a forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com centro na origem:
  • Centro: (0,0).
  • Vértices: (\pm a,0). Substituindo a=2,
\text{vértices: }(2,0)\\ \text{e}\\ (-2,0).é

Passo 4

Determinar domínio e interceptos importantes.
Da equação isolamos y:
y^{2}=\frac{x^{2}}{4}-1,
logo
y=\pm\sqrt{\frac{x^{2}}{4}-1}.
Para que o radicando seja não negativo precisamos de
\frac{x^{2}}{4}-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge 4\quad\Longrightarrow\quad |x|\ge 2.
Portanto o domínio da curva é (-\infty,-2]\cup[2,\infty). Não existem interceptos com o eixo y porque x=0 não satisfaz a equação; os interceptos com o eixo x são justamente os vértices (\pm2,0).

Passo 5

Encontrar as assíntotas por fórmula padrão e também justificar por limite.
Para a hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Justificativa rápida: dividir a equação por x^{2} (para x\neq 0) dá
\frac{1}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}x^{2}}=\frac{1}{x^{2}},
ou rearranjando para y^{2}/x^{2} e fazendo x\to\infty obtém‑se y/x\to\pm b/a. Substituindo a=2 e b=1,
\text{assíntotas: } y=\pm\frac{1}{2}x.í

Passo 6

Método geométrico prático (sem cálculo): retângulo auxiliar e diagonais.
Uma maneira bem prática para esboçar as assimptotas é:
  • Marcar no plano o retângulo cujos vértices são (\pm a,\pm b)=(\pm2,\pm1).
  • As diagonais desse retângulo têm equações y=\pm\frac{b}{a}x, ou seja y=\pm\frac{1}{2}x; essas diagonais são precisamente as assíntotas.
    Esse é um truque clássico: desenha-se o retângulo central e traçam-se suas diagonais para obter as retas guia.

Passo 7

Pontos adicionais para guiar o esboço das ramas.
Calcule alguns pontos para x>2 (o caso x<-2 é simétrico em relação à origem):
  • Para x=3:
y=\pm\sqrt{\frac{3^{2}}{4}-1}=\pm\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\approx\pm1{,}118.
  • Para x=4:
y=\pm\sqrt{\frac{4^{2}}{4}-1}=\pm\sqrt{4-1}=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}732.
Esses pontos mostram que as ramas começam em x=\pm2 (onde y=0) e vão subindo/descendo aproximando‑se das retas y=\pm\frac{1}{2}x conforme |x| aumenta.

Passo 8

Localizar focos (opcional, útil para entendimento da curva).
Para hipérbole horizontal vale c^{2}=a^{2}+b^{2}. Aqui
c^{2}=4+1=5,\qquad c=\sqrt{5}\approx2{,}236.
Portanto os focos ficam em (\pm\sqrt{5},0). Isso não é necessário para as assíntotas, mas ajuda a entender a posição dos ramos.

Passo 9

Instrução passo a passo para desenhar à mão (sem calculadora):
  1. Desenhar eixos x e y e marcar o centro (0,0).
  2. Marcar os vértices (2,0) e (-2,0).
  3. Desenhar o retângulo com cantos em (\pm2,\pm1).
  4. Traçar as diagonais do retângulo; essas diagonais são as assíntotas y=\pm\frac{1}{2}x.
  5. Plotar os pontos calculados (por ex. (3,\pm1{,}118), (4,\pm1{,}732)) e esboçar as duas ramas que passam pelos vértices e se aproximam das diagonais à medida que x\to\pm\infty.
    Dica de desenho: as ramas são simétricas em relação à origem (centro) e têm formato aberto em direções +x e -x.

Resposta

\text{Assíntotas: }y=\pm\frac{1}{2}xí
\text{Centro: }(0,0)
\text{Vértices: }(2,0)\text{ e }(-2,0)é

Exercícios relacionados