Considere as retas r e s de equações cartesianas:
r: a x+b y & =c s: d x+e y & =f
Mostre que o ângulo alpha entre r e s obedece a equação:
cos alpha=|a d+b e|raiz(a^2+b^2)(d^2+e^2)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma geral
r:;a x + b y = c, s:;d x + e y = f
e pede o cosseno do ângulo alpha entre elas. Vamos usar o fato de que o ângulo entre retas é o mesmo ângulo entre seus vetores diretores, calculando esse ângulo via produto escalar.

Passo 2

Para cada reta, um vetor normal é
nr=(a,b), ns=(d,e)
Um vetor diretor v é perpendicular ao normal. Por exemplo, podemos escolher
vr = (-b,,a), vs = (-e,,d)

Passo 3

O cosseno do ângulo entre as retas é o valor absoluto do cosseno do ângulo entre vr e vs, dado por
cosalpha = gl|vrcdotvs|vr|;|vs|gr|

Passo 4

Calculando produto escalar e normas:
vrcdotvs =(-b)(-e)+(a)(d) =be + ad,
|vr|=raiz(-b)^2 + a^2=raiza^2+b^2, |vs|=raiz(-e)^2 + d^2=raizd^2+e^2
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cosalpha = |be+ad|raiz(a^2+b^2)(d^2+e^2) = |ad+be|raiz(a^2+b^2)(d^2+e^2),
que é exatamente a fórmula pedida.

Resposta

cos alpha = |a d + b e|raizl(a^2 + b^2r),l(d^2 + e^2r)

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