Trigonometria do Triângulo Retângulo
Em um triângulo retângulo, os catetos medem a e b.
Demonstre que
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \quad \text { e } \quad \cos (\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} .

Passo 1

O enunciado considera um triângulo retângulo em que os catetos medem a e b. Vamos chamar de \theta o ângulo agudo oposto ao cateto de comprimento a. Para montar as fórmulas de \operatorname{sen}(\theta) e \cos(\theta) precisamos do teorema de Pitágoras para achar a hipotenusa e da definição de funções trigonométricas num triângulo retângulo.

Passo 2

Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa h satisfaz
h = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.

Passo 3

Na definição de trigonometria de triângulo retângulo temos
\operatorname{sen}(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \quad\text{e}\quad \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui o cateto oposto a \theta vale a e o cateto adjacente vale b, logo
\operatorname{sen}(\theta) = \frac{a}{h} \quad\text{e}\quad \cos(\theta) = \frac{b}{h}.
Substituindo h = \sqrt{a^{2}+b^{2}} obtemos diretamente as fórmulas desejadas.

Resposta

\operatorname{sen}(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \quad\text{e}\quad \cos(\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

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