Trigonometria do Triângulo Retângulo - Aplicações Avançadas
Um radar detecta um objeto a uma distância r e ângulo \alpha.
Determine as coordenadas cartesianas do objeto.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um objeto em coordenadas polares: distância r até a origem e ângulo \alpha medido a partir do eixo x. O objetivo é converter essas coordenadas polares em coordenadas cartesianas (x,y). Para isso, vamos usar trigonometria do triângulo retângulo e as definições de seno e cosseno.

Passo 2

Imagine um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento r e forma ângulo \alpha com o eixo x. A projeção dessa hipotenusa sobre o eixo x é o cateto adjacente (comprimento x) e sobre o eixo y é o cateto oposto (comprimento y).

Passo 3

Pelas definições de função trigonométrica num triângulo retângulo, temos
\cos(\alpha) = \frac{x}{r}
\sin(\alpha) = \frac{y}{r}
Basta isolar x e y:
x = r \,\cos(\alpha), \quad y = r \,\sin(\alpha).

Resposta

\bigl(x,y\bigr) = \bigl(r\cos(\alpha),\,r\sin(\alpha)\bigr).

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