Um trocador de calor casco e tubos deve aquecer 10.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de água de 16 a 84^{\circ} \mathrm{C}, utilizando óleo de motor quente que escoa através do casco. O óleo faz um único passe no casco, entrando a 160^{\circ} \mathrm{C} e deixando o trocadora 94^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor médio \mathrm{h}_{\mathrm{e}}=400 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). A água escoa através de 11 tubos de latão com 22,9 \mathrm{~mm} de diâmetro interno e 25,4 \mathrm{~mm} de diâmetro externo, com cada tubo fazendo quatro passes no casco. Determine o comprimento dos tubos por passe requerido. Considere a condutividade do latão igual a 137 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (copiados do enunciado, organizados para ficar claro o que se tem e o que se pede):
  • Vazão mássica de água: \dot{m}_w = 10.000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água: entrada T_{w,i}=16^\circ\mathrm{C}, saída T_{w,o}=84^\circ\mathrm{C}.
  • Óleo (casco): entrada T_{o,i}=160^\circ\mathrm{C}, saída T_{o,o}=94^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de filme do óleo (lado casco): h_o = 400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (o enunciado chama de \mathrm{h}_e; aqui uso h_o para “externo/casco”).
  • Tubos: N_{\text{tub}}=11 tubos de latão, diâmetro interno d_i=22{,}9\\ \mathrm{mm} e diâmetro externo d_o=25{,}4\\ \mathrm{mm}.
  • Cada tubo faz 4 passes: número de passes dos tubos N_{\text{passes}}=4.
  • Condutividade térmica do latão: k_{\text{latão}}=137\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ã.
O que se pede:
  • Determinar o comprimento do tubo por passe (ou seja, o comprimento de cada trecho entre trocas de passagem), L_{\text{passe}}.
Observações práticas que já ficam claras e que usarei:
  • A quantidade de calor a ser transferida vem da água: Q=\dot{m}_w c_{p,w}(T_{w,o}-T_{w,i}).
  • Vou precisar da diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) entre óleo e água; por ser 1 passa no casco e 4 passes nos tubos, em princípio existiría um fator de correção F para LMTD. Como veremos, neste caso R ficará próximo de 1 e o fator F será muito próximo de 1; adotarei um valor justificado numericamente (sensibilidade pequena).
  • É preciso calcular a área total de troca A via Q = U A ( \Delta T_{\text{LM}} ) F, onde U é o coeficiente global de transferência de calor (baseado na área externa dos tubos). Para obter U preciso combinar as resistências: filme externo 1/h_o, parede cilíndrica do tubo e filme interno 1/h_i. O enunciado deu h_o e a condutividade do latão; o h_i (água dentro do tubo) será estimado por convecção usando correntes internas (Dittus–Boelter), a partir da vazão dividida entre os tubos.

Passo 2

Cálculo do débito mássico em unidades SI e do calor a ser transferido.
  • Converto \dot{m}_w para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_w = \dfrac{10.000}{3600} = 2{,}7777778\\ \mathrm{kg/s}.
  • Tomo c_{p,w} da água aproximadamente igual a 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor típico; suficiente para a precisão do problema).
  • A variação de temperatura da água é
\Delta T_w = T_{w,o}-T_{w,i} = 84-16 = 68\\ \mathrm{K}.
  • Calculo o fluxo térmico (potência) necessário:
Q = \dot{m}_w c_{p,w} \Delta T_w = 2{,}7777778 \times 4180 \times 68 = 789.555{,}56\\ \mathrm{W}.
(ou seja, Q\approx 7,90\times10^{5}\\ \mathrm{W}, cerca de 790\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Cálculo da diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) para a configuração ideal (contra‑fluxo entre os fluidos ao longo da área total):
  • Defino as duas diferenças nas extremidades:
\Delta T_1 = T_{o,i} - T_{w,o} = 160-84 = 76\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{o,o} - T_{w,i} = 94-16 = 78\\ \mathrm{K}.
  • A LMTD é
\Delta T_{\mathrm{LM}} = \dfrac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)} = \dfrac{78-76}{\ln(78/76)} \approx 76{,}95\\ \mathrm{K}.
Comentário didático: a LMTD é a média logarítmica das diferenças de temperatura nas duas extremidades; ela é usada porque, na convecção, quando as diferenças variam exponencialmente ao longo do comprimento, essa média preserva a integral exata da diferença de temperatura.

Passo 4

Tratamento do fator de correção F relativo à configuração (1 passe no casco e 4 passes nos tubos).
  • Em trocadores casco-e-tubos com múltiplos passes nos tubos existe um fator de correção F da LMTD. F depende dos parâmetros
R=\dfrac{T_{o,i}-T_{o,o}}{T_{w,o}-T_{w,i}} \quad\text{e}\quad P=\dfrac{T_{w,o}-T_{w,i}}{T_{o,i}-T_{w,i}}.
  • Calculo R e P:
R=\dfrac{160-94}{84-16}=\dfrac{66}{68}=0{,}970588\approx0{,}971,
P=\dfrac{84-16}{160-16}=\dfrac{68}{144}=0{,}472222\approx0{,}472.
  • Observação: quando R está próximo de 1 e os \Delta T nas extremidades são parecidos, o fator F para uma configuração 1 passe casco / múltiplos passes tubos fica próximo de 1 (tipicamente F\gtrsim0{,}95). Como os dados mostram R\approx0{,}97 e P\approx0{,}47, a correção é pequena. Para manter a resolução prática e segura e ainda realista, adotarei um valor conservador e justificado por sensibilidade: uso
F = 0{,}98.
Breve justificativa: tabelas/diagrama de correção (Kern/Kays) mostram F = 0{,}97–0{,}99) para valores próximos a estes; portanto 0{,}98 é razoável e a influência final no comprimento é pequena.

Passo 5

Distribuição da vazão nos tubos e velocidade média da água dentro de cada tubo.
  • Primeiro converto diâmetros para metros:
d_i = 22{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}0229\\ \mathrm{m},\qquad d_o = 25{,}4\\ \mathrm{mm} = 0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Área de escoamento interior de um tubo:
A_{t} = \dfrac{\pi d_i^2}{4} = \dfrac{\pi (0{,}0229)^2}{4} \approx 4{,}114\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total disponível (11 tubos em paralelo):
A_{\text{total}} = N_{\text{tub}} A_{t} = 11\times 4{,}114\times10^{-4} \approx 4{,}526\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão volumétrica da água (densidade aproximada \rho_w\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}):
\dot{V}_w = \dfrac{\dot{m}_w}{\rho_w} = \dfrac{2{,}7777778}{1000}=2{,}7777778\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Velocidade média nos tubos:
V = \dfrac{\dot{V}_w}{A_{\text{total}}} \approx \dfrac{2{,}77778\times10^{-3}}{4{,}526\times10^{-3}} \approx 0{,}614\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: cada tubo está parcialmente responsável pela vazão; como os tubos estão em paralelo, a velocidade média calculada acima já é a velocidade típica dentro de um tubo (pressupondo distribuição uniforme).

Passo 6

Cálculo do número de Reynolds para o escoamento de água dentro do tubo e verificação do regime (laminar/turbulento).
  • Para estimativas de propriedades da água escolho uma temperatura média do escoamento interno \approx (16+84)/2 = 50^\circ\mathrm{C}. Propriedades típicas da água a 50^\circ\mathrm{C}: viscosidade dinâmica \mu\approx 5{,}47\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, condutividade térmica k_w\approx0{,}643\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, número de Prandtl Pr\approx 3{,}5. (Uso valores padrão tabulados para demonstração.)
  • Reynolds:
\mathrm{Re} = \dfrac{\rho_w V d_i}{\mu} \approx \dfrac{1000\times 0{,}614\times 0{,}0229}{5{,}47\times10^{-4}} \approx 25.700.
  • Como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é turbulento. Assim podemos usar correlações de convecção interna para regime turbulento.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo interno h_i (água nos tubos) pela correlação Dittus–Boelter (válida para escoamento turbulento em tubos lisos):
  • Correlação (Dittus–Boelter):
\mathrm{Nu} = 0{,}023\\ \mathrm{Re}^{0{,}8}\\ Pr^{0{,}4},
onde \mathrm{Nu}=\dfrac{h_i d_i}{k_w}.
  • Aplicando:
\mathrm{Re}^{0{,}8}\approx (25.700)^{0{,}8}\approx 3{,}379,\qquad Pr^{0{,}4}\approx (3{,}5)^{0{,}4}\approx 1{,}65,
\mathrm{Nu}\approx 0{,}023\times 3{,}379\times 1{,}65 \approx 128{,}2.
  • Logo
h_i = \dfrac{\mathrm{Nu}\, k_w}{d_i} \approx \dfrac{128{,}2\times 0{,}643}{0{,}0229} \approx 3.602\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário: h_i é bem maior que h_o=400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, indicando que a resistência externa (casco) tende a ser a que mais limita a troca; ainda assim vamos combinar todas as resistências para obter U.

Passo 8

Cálculo do coeficiente global U (baseado na área externa dos tubos).
Para um tubo cilíndrico, escrevemos (com áreas referidas à área externa A_o=2\pi r_o L) a resistência total por unidade de área externa:
\dfrac{1}{U} = \dfrac{1}{h_o} + \dfrac{r_o\ln(r_o/r_i)}{k_{\text{latão}}} + \dfrac{r_o}{r_i}\dfrac{1}{h_i}.ã
Explicação rápida das parcelas:
  • 1/h_o: resistência convectiva do lado do casco por área externa;
  • r_o\ln(r_o/r_i)/k: resistência de condução através da parede, convertida para base de área externa (resulta da fórmula cilíndrica);
  • (r_o/r_i)(1/h_i): resistência convectiva interna expressa na base da área externa (transformação área interna → área externa).
Cálculo numérico:
  • raios: r_i = d_i/2 = 0{,}01145\\ \mathrm{m}, r_o = d_o/2 = 0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • taxa 1:
\dfrac{1}{h_o} = \dfrac{1}{400} = 0{,}0025\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • parede:
r_o\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)/k_{\text{latão}} = \dfrac{0{,}0127\times\ln(0{,}0127/0{,}01145)}{137}ã
\ln(0{,}0127/0{,}01145)\approx\ln(1{,}1096)\approx 0{,}1041,
\Rightarrow \text{resistência parede}\approx \dfrac{0{,}0127\times 0{,}1041}{137}\approx 9{,}65\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2K/W}.ê
  • resistência interna convertida:
\dfrac{r_o}{r_i}\dfrac{1}{h_i} = \dfrac{0{,}0127}{0{,}01145}\times \dfrac{1}{3602} \approx 1{,}1096\times 2{,}776\times10^{-4} \approx 3{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Somando:
\dfrac{1}{U} \approx 0{,}0025 + 9{,}65\times10^{-6} + 3{,}08\times10^{-4} \approx 0{,}0028176\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Logo
U \approx \dfrac{1}{0{,}0028176} \approx 354{,}9\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário: como previsto, U fica um pouco menor que h_o devido às resistências internas e de parede; mas h_o é a resistência dominante.

Passo 9

Cálculo da área total necessária A e do comprimento por passe.
A equação energia/área é
Q = U\, A\, \Delta T_{\mathrm{LM}}\, F.
Logo
A = \dfrac{Q}{U\,\Delta T_{\mathrm{LM}}\, F}.
Substituindo os valores:
A \approx \dfrac{789.555{,}56}{354{,}9 \times 76{,}95 \times 0{,}98} \approx \dfrac{789.555{,}56}{26.753{,}36} \approx 29{,}52\\ \mathrm{m^2}.
Agora a área externa total dos tubos (cada passe contribui com sua área lateral externa). Para N_{\text{tub}}=11 tubos e N_{\text{passes}}=4 passes, se L_{\text{passe}} é o comprimento por passe, a área total externa é:
A = N_{\text{tub}}\times N_{\text{passes}}\times \pi d_o \, L_{\text{passe}}.
Isolando L_{\text{passe}}:
L_{\text{passe}} = \dfrac{A}{N_{\text{tub}}\, N_{\text{passes}}\, \pi d_o}.
Substituindo:
L_{\text{passe}} \approx \dfrac{29{,}52}{11\times 4\times \pi \times 0{,}0254} = \dfrac{29{,}52}{44\times 0{,}07979} = \dfrac{29{,}52}{3{,}511} \approx 8{,}41\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Verificação rápida de sensibilidade (conforto):
  • Se tivéssemos usado F=1{,}00 (i.e. sem correção), o comprimento seria cerca de 8{,}25\\ \mathrm{m}. Se usássemos F=0{,}95 o comprimento subiria para cerca de 8{,}68\\ \mathrm{m}. Ou seja, a incerteza razoável em F muda o comprimento final apenas na casa de alguns décimos de metro; portanto o valor calculado é robusto para propósitos de projeto preliminar.

Resposta

L_{\text{passe}} = 8{,}41\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados