Um trocador de calor de escoamento cruzado, usado em um procedimento de bypass cardiopulmonar, resfria sangue escoando a uma vazão de 5 litros/min de uma temperatura do corpo de 37^{\circ} \mathrm{C} a 25^{\circ} \mathrm{C} para induzir a hipotermia do corpo, que reduz o metabolismo e as exigências oxigênio. O refrigerante é água gelada a 0^{\circ} \mathrm{C} e sua vazão é ajustada para fornecer uma temperatura de saída de 15^{\circ} \mathrm{C}. O trocador de calor opera com os dois fluidos não misturados e o coeficiente global de transferência de calor é igual a 750 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). A massa específica e o calor específico do sangue são 1050 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 3740 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), respectivamente.
a) Determine a taxa de transferência de calor no trocador.
b) Calcule a taxa mássica da água.
c) Qual é a área da superfície do trocador de calor?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece estes dados (todos os valores numéricos abaixo foram retirados diretamente do enunciado):
  • Vazão volumétrica do sangue: 5\\ \mathrm{L/min}.
  • Temperaturas do sangue: entra a 37^{\circ}\mathrm{C} e sai a 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Refrigerante: água gelada entra a 0^{\circ}\mathrm{C} e sai a 15^{\circ}\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U = 750\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Densidade do sangue: \rho_{\text{sangue}} = 1050\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Calor específico do sangue: c_{p,\text{sangue}} = 3740\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
O enunciado solicita:
(a) a taxa de transferência de calor no trocador (ou seja, \dot{Q});
(b) a vazão mássica da água refrigerante (ou seja, \dot{m}_{\text{água}}á);
(c) a área de superfície do trocador de calor (ou seja, A).
Observação necessária: o enunciado não fornece explicitamente o calor específico da água; vou assumir o valor usual c_{p,\text{água}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}á. Se for necessário um valor diferente, o procedimento é o mesmo e basta substituir.

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão mássica do sangue.
  • Converter 5\\ \mathrm{L/min} para \mathrm{m^{3}/s}:
5\\ \mathrm{L/min} = 5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/min} = \frac{5\times10^{-3}}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 8{,}333\overline{3}\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Vazão mássica do sangue:
\dot{m}_{\text{sangue}} = \rho_{\text{sangue}} \cdot \dot{V} = 1050 \cdot 8{,}333\overline{3}\times10^{-5} = 0{,}0875\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação didática curta: para passar de volume por tempo para massa por tempo multiplica-se pela densidade, porque massa = densidade × volume.

Passo 3

Calcular a taxa de calor removida do sangue (parte a), usando a expressão de balanço térmico para um fluido que muda de temperatura:
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{sangue}}\, c_{p,\text{sangue}}\, (T_{\text{in}} - T_{\text{out}}).
Aqui T_{\text{in}} = 37^{\circ}\mathrm{C} e T_{\text{out}} = 25^{\circ}\mathrm{C}, então (T_{\text{in}}-T_{\text{out}})=12\\ \mathrm{K}. Substituindo:
\dot{Q} = 0{,}0875 \cdot 3740 \cdot 12 = 3927\\ \mathrm{W}.
Breve explicação: \dot{m} c_p é a taxa de capacidade térmica (unidade W/K) do fluido; multiplicando pela queda de temperatura obtém-se a potência térmica trocada.

Passo 4

Determinar a vazão mássica da água (parte b) a partir do balanço térmico: a potência que sai do sangue entra na água (assumindo sem perdas externas), logo
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{água}}\, c_{p,\text{água}}\, (T_{\text{água,out}} - T_{\text{água,in}}).áááá
Aqui T_{\text{água,in}}=0^{\circ}\mathrm{C}á e T_{\text{água,out}}=15^{\circ}\mathrm{C}á, então \Delta T_{\text{água}}=15\\ \mathrm{K}á. Com c_{p,\text{água}}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}á e \dot{Q}=3927\\ \mathrm{W}:
\dot{m}_{\text{água}} = \frac{\dot{Q}}{c_{p,\text{água}}\,\Delta T_{\text{água}}} = \frac{3927}{4180\cdot 15}.ááá
Calcular numericamente:
4180\cdot 15 = 62700, \qquad \dot{m}_{\text{água}} = \frac{3927}{62700} \approx 0{,}0627\\ \mathrm{kg/s}.á
Conversão útil para unidade prática: 0{,}0627\\ \mathrm{kg/s}\times 60 = 3{,}76\\ \mathrm{kg/min}, que, como a densidade da água é cerca de 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, corresponde a aproximadamente 3{,}76\\ \mathrm{L/min}.
Explicação didática: a água absorve calor e se aquece; com a energia conhecida e a variação de temperatura conhecida, divide-se para obter a massa por segundo.

Passo 5

Preparação para calcular a área A (parte c). Vou usar o método NTU-efetividade apropriado para um trocador de escoamento cruzado com ambos os fluidos não misturados. Etapas:
  • Calcular as taxas de capacidade térmica C de cada fluido:
C = \dot{m}\, c_p.
Para o sangue:
C_{\text{sangue}} = 0{,}0875\cdot 3740 = 327{,}25\\ \mathrm{W/K}.
Para a água:
C_{\text{água}} = 0{,}0627\cdot 4180 \approx 262{,}9\\ \mathrm{W/K}.á
  • Identificar C_{\min} e C_{\max}:
C_{\min} = 262{,}9\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max} = 327{,}25\\ \mathrm{W/K}.
  • Razão de capacidades:
C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{262{,}9}{327{,}25} \approx 0{,}803.
  • A efetividade \epsilon do trocador é definida como
\epsilon = \frac{\dot{Q}}{C_{\min}\,(T_{\text{hot,in}}-T_{\text{cold,in}})}.
Aqui o fluido quente é o sangue (entra a 37^{\circ}\mathrm{C}) e o frio é a água (entra a 0^{\circ}\mathrm{C}), então (T_{\text{hot,in}}-T_{\text{cold,in}})=37\\ \mathrm{K}. Substituindo:
\epsilon = \frac{3927}{262{,}9\cdot 37} \approx \frac{3927}{9727{,}3} \approx 0{,}4038.
Explicação didática: \epsilon indica a fração da diferença máxima de temperatura que o trocador consegue efetivamente realizar com o fluido de menor capacidade térmica.

Passo 6

Relacionar \epsilon com NTU para escoamento cruzado com ambos os fluidos não misturados.
Definições:
  • \mathrm{NTU} = \dfrac{U A}{C_{\min}}.
  • Para o caso “crossflow, both fluids unmixed” existe uma correlação de Kays & London (usada comumente em cursos):
\epsilon = 1 - \exp\!\left\{ -\frac{1}{C_r}\Big[1 - \exp\!\big(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22}\big)\Big]\mathrm{NTU}^{0{,}78} \right\}.
Observação: essa fórmula é empírica/semianalítica e amplamente adotada para trocarores em escoamento cruzado com ambos os fluxos não misturados. O objetivo agora é encontrar \mathrm{NTU} que produza \epsilon=0{,}4038. Isso exige solução numérica (iteração). Vou mostrar alguns passos iterativos curtos para achar \mathrm{NTU}.

Passo 7

Iteração para encontrar \mathrm{NTU} (mostrando alguns pontos de teste para didática):
Definir f(\mathrm{NTU}) = 1 - \exp\!\left\{ -\dfrac{1}{C_r}\Big[1 - \exp\big(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22}\big)\Big]\mathrm{NTU}^{0{,}78} \right\}.
Testes rápidos (apenas alguns para convergência):
  • \mathrm{NTU}=1{,}0 \Rightarrow f(1{,}0)\approx 0{,}4974 (maior que 0{,}4038).
  • \mathrm{NTU}=0{,}6 \Rightarrow f(0{,}6)\approx 0{,}3484 (menor).
  • \mathrm{NTU}=0{,}8 \Rightarrow f(0{,}8)\approx 0{,}4281 (ligeiramente maior).
  • \mathrm{NTU}=0{,}75 \Rightarrow f(0{,}75)\approx 0{,}4094 (ainda um pouco maior).
  • \mathrm{NTU}=0{,}73 \Rightarrow f(0{,}73)\approx 0{,}4018 (ligeiramente menor).
Interpolando entre \mathrm{NTU}=0{,}73 e \mathrm{NTU}=0{,}75 para atingir \epsilon=0{,}4038 resulta em aproximadamente
\mathrm{NTU}\approx 0{,}735.
Explicação didática: a dependência não é linear, então usa-se tentativa/erro ou um método numérico. Aqui a interpolação linear entre dois valores próximos já dá boa precisão prática.

Passo 8

Com \mathrm{NTU} estimada, calcular U A e então a área A:
  • Primeiro
U A = \mathrm{NTU}\cdot C_{\min} \approx 0{,}735\cdot 262{,}9 \approx 193{,}7\\ \mathrm{W/K}.
  • Então a área:
A = \frac{U A}{U} = \frac{193{,}7}{750} \approx 0{,}2583\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação didática: U A é a capacidade global do trocador de conduzir calor (W/K). Dividindo por U obtém-se a área necessária para alcançar essa capacidade.

Resposta

(a) \dot{Q}=3927\\ \mathrm{W}.
(b) \dot{m}_{\text{água}} \approx 0{,}0627\\ \mathrm{kg/s}á (≈ 3{,}76\\ \mathrm{L/min}).
(c) A \approx 0{,}258\\ \mathrm{m^{2}}.

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