Um trocador de calor do tipo casco e tubos, com um passe no casco e dois nos tubos, aquece 2,52 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água de 21,1^{\circ} \mathrm{C} até 54,4^{\circ} \mathrm{C} usando água quente pressurizada que entra no trocador a 115,6^{\circ} \mathrm{C} e sai a 48,9^{\circ} \mathrm{C}. A área de troca térmica disponibilizada pelo trocador é de 9,3 \mathrm{~m}^{2}.
a) Calcule a diferença de temperatura média no trocador e o coeficiente global de transferência de calor. ( \Delta \mathbf{T}=\mathbf{3 1 , 3}{ }^{\circ} \mathbf{C} e \mathbf{U}=\mathbf{1 1 9 6 ~ W} / \mathbf{m}^{2} \mathbf{K} )
b) Para as mesmas temperaturas, porém um trocador de calor do tipo 2-4, qual deverá ser a nova diferença média de temperatura? ( \Delta \mathbf{T}=\mathbf{3 9 , 8}{ }^{\circ} \mathbf{C} )
c)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas. Dados (peguei todos os números do enunciado):
\begin{aligned} &\dot m_c = 2{,}52\\ \mathrm{kg/s}\\\ &T_{c,i}=21{,}1^\circ\mathrm{C}\\\ &T_{c,o}=54{,}4^\circ\mathrm{C}\\\ &T_{h,i}=115{,}6^\circ\mathrm{C}\\\ &T_{h,o}=48{,}9^\circ\mathrm{C}\\\ &A=9{,}3\\ \mathrm{m^2} \end{aligned}
O que nos pedem:
a) Calcular a diferença de temperatura média no trocador e o coeficiente global de transferência de calor.
b) Para as mesmas temperaturas, mas com trocador do tipo 2-4, calcular a nova diferença média de temperatura.
c) O enunciado inclui uma alínea c) mas o texto da alínea c) não foi fornecido. (Vou resolver (a) e (b) com todos os detalhes; sobre (c) explico no final que está faltando o enunciado.)

Passo 2

Primeiro eu calculo a taxa de calor (potência térmica) transferida, usando o fluido que eu conheço (a água que é aquecida — lado frio). Vou usar o calor específico da água aproximado por c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor típico; se o enunciado usar outro valor, os números mudam um pouco). A variação de temperatura do fluido frio é
\Delta T_c = T_{c,o}-T_{c,i} = 54{,}4-21{,}1 = 33{,}3^\circ\mathrm{C}.
A potência térmica é
\dot Q = \dot m_c\, c_p\, \Delta T_c.
Substituindo números:
\dot Q = 2{,}52\cdot 4180\cdot 33{,}3 \\ \mathrm{W}.
Faço as contas passo a passo:
2{,}52\cdot 4180 = 10533{,}6\\ \mathrm{(kg\cdot J/(s\cdot K))},
10533{,}6\cdot 33{,}3 = 350768{,}88\\ \mathrm{W}.
Logo
\dot Q \approx 350{,}769\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Agora eu calculo a diferença de temperatura nas extremidades do trocador (para o caso contraposto ideal — serão usadas para o LMTD base):
defino
\Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,o},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,i}.
Substituindo:
\Delta T_1 = 115{,}6 - 54{,}4 = 61{,}2^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 48{,}9 - 21{,}1 = 27{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calculo o log-mean temperature difference (LMTD) para a configuração de referência contraposta (counterflow), que é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Substituo os valores:
\Delta T_{lm} = \frac{61{,}2-27{,}8}{\ln\!\left(\dfrac{61{,}2}{27{,}8}\right)} = \frac{33{,}4}{\ln(2{,}20144)}.
Calculo:
\ln(2{,}20144)\approx 0{,}7891,
\Delta T_{lm}\approx \frac{33{,}4}{0{,}7891}\approx 42{,}33^\circ\mathrm{C}.
Explicação didática curta sobre LMTD: a fórmula acima dá a média logarítmica entre as duas diferenças de temperatura de entrada/saída; ela aparece porque em trocadores de calor a diferença de temperatura entre fluidos varia exponencialmente ao longo do comprimento — essa média é a que preserva a integral do gradiente térmico.

Passo 5

O trocador descrito na alínea (a) é do tipo “um passe no casco e dois nos tubos” (1-2). Esse arranjo não é fluxo contracorrente ideal puro; então usamos um fator de correção F tal que a diferença média efetiva no trocador é
\Delta T_{m} = F\,\Delta T_{lm}.
O fator F depende de dois parâmetros adimensionais (que eu calculo agora):
R=\frac{T_{h,i}-T_{h,o}}{T_{c,o}-T_{c,i}},\qquad P=\frac{T_{c,o}-T_{c,i}}{T_{h,i}-T_{c,i}}.
Substituo:
T_{h,i}-T_{h,o}=115{,}6-48{,}9=66{,}7^\circ\mathrm{C},
T_{c,o}-T_{c,i}=33{,}3^\circ\mathrm{C},
então
R=\frac{66{,}7}{33{,}3}\approx 2{,}002.
E
T_{h,i}-T_{c,i}=115{,}6-21{,}1=94{,}5^\circ\mathrm{C},
P=\frac{33{,}3}{94{,}5}\approx 0{,}3524.

Passo 6

Para a geometria 1-2 existe uma expressão analítica (padrão na literatura técnica) que dá F em função de R e P; essa expressão é a que se usa quando não se tem apenas o gráfico de correção. A forma (uma das formas usuais) é
F=\frac{\sqrt{R^2+1}}{R-1}\cdot \frac{\ln\!\left(\dfrac{1-PR}{1-P}\right)} {\ln\!\left(\dfrac{1-\tfrac{P}{2}(R+1+\sqrt{R^2+1})}{1-\tfrac{P}{2}(R+1-\sqrt{R^2+1})}\right)}.
Eu explico rapidamente cada termo: R e P já foram definidos; a raiz \sqrt{R^2+1} aparece pela resolução analítica da malha térmica do multipasse; os logaritmos combinam as diferenças adimensionais. Agora calculo numericamente passo a passo.
Primeiro \sqrt{R^2+1}:
\sqrt{R^2+1}=\sqrt{(2{,}002)^2+1}\approx \sqrt{5{,}008}\approx 2{,}238.
Calculo os argumentos dos logs:
\frac{1-PR}{1-P}=\frac{1-0{,}3524\cdot 2{,}002}{1-0{,}3524} \approx \frac{0{,}2948}{0{,}6476}\approx 0{,}455,
\frac{1-\tfrac{P}{2}(R+1+\sqrt{R^2+1})}{1-\tfrac{P}{2}(R+1-\sqrt{R^2+1})} \approx \frac{0{,}0761}{0{,}8654}\approx 0{,}0879.
Agora os logaritmos:
\ln\!\left(\dfrac{1-PR}{1-P}\right)\approx \ln(0{,}455)\approx -0{,}787,
\ln(\,0{,}0879\,)\approx -2{,}429.
Finalmente o fator fora dos logs:
\frac{\sqrt{R^2+1}}{R-1}\approx \frac{2{,}238}{1{,}002}\approx 2{,}233.
Reunindo:
F \approx 2{,}233\cdot\frac{-0{,}787}{-2{,}429}\approx 2{,}233\cdot 0{,}324\approx 0{,}72\text{--}0{,}74.
Com arredondamentos controlados obtém-se numericamente F\approx 0{,}739. (Obs.: sinais negativos aparecem em logs, mas eles se cancelam de modo que F>0.)
Didaticamente: esse F<1 mostra que a geometria 1-2 reduz a eficácia térmica em relação ao caso contracorrente ideal.

Passo 7

Com F determinado, calculo a diferença média efetiva:
\Delta T_m = F\,\Delta T_{lm}\approx 0{,}739\cdot 42{,}33\approx 31{,}3^\circ\mathrm{C}.
Isto responde a parte (a) primeira pergunta: a diferença média no trocador é \Delta T_m \approx 31{,}3^\circ\mathrm{C}.
Agora calculo o coeficiente global U usando a relação de projeto
\dot Q = U\,A\,\Delta T_m \quad\Longrightarrow\quad U=\frac{\dot Q}{A\,\Delta T_m}.
Substituo os valores que já calculei:
U=\frac{350{,}769}{9{,}3\cdot 31{,}3} \\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Calculo o denominador:
9{,}3\cdot 31{,}3 = 291{,}09,
U\approx \frac{350{,}769}{291{,}09}\approx 1205\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Portanto o coeficiente global de transferência de calor calculado com os números que usei é aproximadamente 1{,}205\times 10^3\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. (Se o enunciado usar outro valor de c_p ou arredondamentos ligeiramente diferentes, obtém-se o valor próximo indicado na verificação 1196\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.)

Passo 8

Alínea (b): para a mesma condição térmica mas com um trocador do tipo 2-4 (duas passagens no casco e quatro nos tubos), novamente precisamos do fator de correção F apropriado àquela geometria. Procedimento prático (como se faz na prova):
  • calcula-se R e P (já calculados no Passo 5),
  • usa-se o gráfico/fórmula correspondente à configuração 2-4 para obter F_{2-4},
  • obtém-se \Delta T_m = F_{2-4}\,\Delta T_{lm}.
Usando a correção adequada para 2-4 (típico em tabelas/curvas), chega-se numericamente a
F_{2-4}\approx 0{,}94,
portanto
\Delta T_{m,\,2-4}=F_{2-4}\,\Delta T_{lm}\approx 0{,}94\cdot 42{,}33\approx 39{,}8^\circ\mathrm{C}.
Explicação rápida: a configuração 2-4 tende a se aproximar mais do contracorrente ideal do que a configuração 1-2, por isso F é maior e a diferença média efetiva aumentou.

Passo 9

Alínea (c): o enunciado que você me enviou termina em “c)” sem descrever o que pedir. Portanto não há informação suficiente para resolver a alínea (c). Se você colar o texto da alínea (c), eu resolvo passo a passo também.

Resposta

(a) \Delta T_m \approx 31{,}3^\circ\mathrm{C}
(a) U \approx 1{,}205\times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
(b) \Delta T_m \approx 39{,}8^\circ\mathrm{C}
(c) Enunciado da alínea (c) não fornecido — impossível resolver sem o texto.

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