Um trocador de calor de placas deve aquecer a água de 20^{\circ} \mathrm{C} até 80^{\circ} \mathrm{C} a uma taxa de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O aquecimento é obtido por meio de óleo a 160
{\circ} C e uma vazão de 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considere o coeficiente global de transferência de calor igual a 600 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}
Determina a área do trocador de calor se o escoamento dos fluidos for a fluxo concorrente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
  • Água:
    • Temperatura de entrada: \,T_{w,\mathrm{in}}=20^\circ\mathrm{C}
    • Temperatura de saída desejada: \,T_{w,\mathrm{out}}=80^\circ\mathrm{C}
    • Vazão mássica: \dot{m}_w=1{,}2\\ \mathrm{kg/s}
  • Óleo:
    • Temperatura de entrada: \,T_{o,\mathrm{in}}=160^\circ\mathrm{C}
    • Vazão mássica: \dot{m}_o=3\\ \mathrm{kg/s}
  • Coeficiente global de transferência de calor: \,U=600\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
  • Configuração: escoamento concorrente (fluxos no mesmo sentido).
  • O que se pede: determinar a área A do trocador de calor necessária para aquecer a água conforme dados.
Assunções físicas necessárias (não fornecidas no enunciado, então adoto valores típicos e constantes):
  • Capacidade térmica do água: \,c_w=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor padrão à temperatura ambiente).
  • Capacidade térmica do óleo térmico: \,c_o=2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor típico para óleos térmicos; varia com o tipo, mas usarei este valor).
  • Regime estacionário, sem perdas térmicas para o ambiente (toda a energia trocada é entre óleo e água).

Passo 2

Calcular a taxa de calor necessária Q usando o balanço de energia para a água (a água recebe o calor):
Q=\dot{m}_w\,c_w\left(T_{w,\mathrm{out}}-T_{w,\mathrm{in}}\right).
Substituindo os valores:
Q = 1{,}2\cdot 4180 \cdot (80-20)\\ \mathrm{W}.
Primeiro calcule (80-20)=60. Então
Q = 1{,}2\cdot 4180 \cdot 60 = 300{,}960\\ \mathrm{W}.
Comentário didático: essa fórmula vem da definição de calor sensível para vazão mássica constante; c é a energia necessária por kg por grau Kelvin e multiplicando por \dot m e \Delta T obtemos a potência térmica transferida.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída do óleo usando o balanço energético (o que o óleo perde é igual a Q):
Q=\dot{m}_o\,c_o\left(T_{o,\mathrm{in}}-T_{o,\mathrm{out}}\right).
Isolando T_{o,\mathrm{out}}:
T_{o,\mathrm{out}}=T_{o,\mathrm{in}}-\frac{Q}{\dot{m}_o\,c_o}.
Substituindo:
T_{o,\mathrm{out}}=160^\circ\mathrm{C}-\frac{300{,}960}{3\cdot 2000}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule o quociente:
\frac{300{,}960}{6000}=50{,}16^\circ\mathrm{C},
portanto
T_{o,\mathrm{out}}=160-50{,}16=109{,}84^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular as diferenças de temperatura nas extremidades do trocador para escoamento concorrente:
  • Diferença na entrada (lado quente menos lado frio na entrada do trocador):
\Delta T_1 = T_{o,\mathrm{in}}-T_{w,\mathrm{in}} = 160-20=140^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença na saída:
\Delta T_2 = T_{o,\mathrm{out}}-T_{w,\mathrm{out}} = 109{,}84-80=29{,}84^\circ\mathrm{C}.
Explicação breve: para LMTD no escoamento concorrente usamos exatamente essas duas diferenças, pois ambas extremidades têm os dois fluidos próximos (entrada-entrada e saída-saída).

Passo 5

Calcular o Log Mean Temperature Difference (LMTD), que é a média logarítmica das duas diferenças e é a diferença de temperatura eficaz para transferência de calor em trocadores de placas (para inclinação exponencial de temperatura):
\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Substituindo \Delta T_1=140 e \Delta T_2=29{,}84:
\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{140-29{,}84}{\ln\!\left(\dfrac{140}{29{,}84}\right)} = \frac{110{,}16}{\ln(4{,}695\ldots)}.
Calcule o ln:
\ln(4{,}695\ldots)\approx 1{,}5473,
logo
\Delta T_{\mathrm{lm}}\approx \frac{110{,}16}{1{,}5473}\approx 71{,}18^\circ\mathrm{C}.
Didática: o LMTD é a forma correta de representar a “diferença de temperatura média” quando a diferença varia exponencialmente ao longo do trocador; no caso co-corrente usa-se essas \Delta T_1 e \Delta T_2.

Passo 6

Relacionar potência, coeficiente global, área e LMTD:
Q = U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}}.
Isolando a área A:
A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{\mathrm{lm}}}.
Substituindo os valores numéricos:
A=\frac{300{,}960\\ \mathrm{W}}{600\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\times 71{,}18\\ \mathrm{K}}.
Calcule o denominador:
600\times 71{,}18 = 42{,}708\\ \mathrm{W/m^2}.
Logo
A=\frac{300{,}960}{42{,}708}\approx 7{,}05\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Verificação rápida de coerência:
  • A área obtida é razoável para uma transferência de calor de aproximadamente 301\\ \mathrm{kW} com U=600\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e \Delta T_{\mathrm{lm}} na faixa de 70^\circ\mathrm{C}.
  • Observação importante: se o c_o real do óleo for diferente do assumido, tanto T_{o,\mathrm{out}} quanto \Delta T_{\mathrm{lm}} e, consequentemente, A mudarão. Para resultados exatos deve-se usar o c_o do óleo fornecido pelo fabricante.

Resposta

A \approx 7{,}05\\ \mathrm{m}^2

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