Um trocador de calor de placas deve aquecer a água de 20^{\circ} \mathrm{C} até 80^{\circ} \mathrm{C} a uma taxa de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O aquecimento é obtido por meio de óleo a 160
{\circ} C e uma vazão de 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considere o coeficiente global de transferência de calor igual a 600 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}
Determine a área do trocador de calor se o escoamento dos fluidos ocorrer em fluxo contracorrente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão mássica de água: \dot{m}_{\text{w}} = 1{,}2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura da água na entrada: T_{\text{w,in}} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água na saída: T_{\text{w,out}} = 80^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica do óleo: \dot{m}_{\text{o}} = 3{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura do óleo na entrada (quente): T_{\text{o,in}} = 160^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U = 600\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
  • O escoamento é em contracorrente (dados do enunciado).
O que o enunciado pede:
  • Determinar a área A do trocador de calor.
Observação importante (assunção que vou adotar porque o enunciado não fornece): para calcular a energia trocada preciso das capacidades caloríficas específicas ( c_p). Adotarei valores típicos:
  • Capacidade térmica da água: c_{p,\text{w}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (valor padrão).
  • Capacidade térmica do óleo: c_{p,\text{o}} = 2000\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (valor representativo para óleos térmicos leves).
    Se você tiver outro valor para c_{p,\text{o}}, o resultado muda; aqui uso 2000\\ \mathrm{J/(kg\,K)} para prosseguir.

Passo 2

Calcular a potência térmica (fluxo de calor) requerida para aquecer a água. Fórmula básica de troca de calor por aquecimento de massa:
\dot{Q} = \dot{m}\, c_p\, \Delta T,
onde \dot{Q} é a potência térmica (em W), \dot{m} é a vazão mássica (em \mathrm{kg/s}), c_p é a capacidade térmica específica (em \mathrm{J/(kg\,K)}) e \Delta T é a variação de temperatura (em K ou °C).
Aplicando para a água:
\Delta T_{\text{w}} = T_{\text{w,out}} - T_{\text{w,in}} = 80 - 20 = 60\\ ^\circ\mathrm{C}.
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{w}}\, c_{p,\text{w}}\, \Delta T_{\text{w}} = 1{,}2 \times 4180 \times 60.
Calculemos:
\dot{Q} = 1{,}2 \times 4180 \times 60 = 300960\\ \mathrm{W}.
Interpretação: são aproximadamente 301\\ \mathrm{kW} de calor que o óleo deve ceder à água.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída do óleo usando balanço de energia (sem perdas): o calor cedido pelo óleo é igual ao calor ganho pela água.
Equação de balanço:
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{o}}\, c_{p,\text{o}}\, (T_{\text{o,in}} - T_{\text{o,out}}).
Isolando T_{\text{o,out}}:
T_{\text{o,out}} = T_{\text{o,in}} - \frac{\dot{Q}}{\dot{m}_{\text{o}}\, c_{p,\text{o}}}.
Substituindo números (usei c_{p,\text{o}}=2000\\ \mathrm{J/(kg\,K)}):
\Delta T_{\text{o}} = \frac{\dot{Q}}{\dot{m}_{\text{o}}\, c_{p,\text{o}}} = \frac{300960}{3{,}0 \times 2000} = \frac{300960}{6000} = 50{,}16\\ ^\circ\mathrm{C}.
T_{\text{o,out}} = 160 - 50{,}16 = 109{,}84^\circ\mathrm{C}.
Ou seja, o óleo sai a aproximadamente 109{,}84^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) para escoamento contracorrente.
Para um trocador em contracorrente, as duas diferenças de temperatura nas extremidades são:
\Delta T_1 = T_{\text{hot,in}} - T_{\text{cold,out}}, \qquad \Delta T_2 = T_{\text{hot,out}} - T_{\text{cold,in}}.
Aqui o fluido quente é o óleo e o frio é a água, então:
\Delta T_1 = T_{\text{o,in}} - T_{\text{w,out}} = 160 - 80 = 80\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{\text{o,out}} - T_{\text{w,in}} = 109{,}84 - 20 = 89{,}84\\ ^\circ\mathrm{C}.
A LMTD é definida por:
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
Substituindo:
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{89{,}84 - 80}{\ln\!\left(\dfrac{89{,}84}{80}\right)} = \frac{9{,}84}{\ln(1{,}123)}.
Calculemos numericamente:
\ln(1{,}123)\approx 0{,}1162\quad\Rightarrow\quad \Delta T_{\text{lm}} \approx \frac{9{,}84}{0{,}1162}\approx 84{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto a LMTD vale aproximadamente 84{,}7\\ \mathrm{K} (ou °C).

Passo 5

Usar a relação de projeto do trocador baseada em LMTD:
\dot{Q} = U\, A\, \Delta T_{\text{lm}},
onde A é a área de troca (m^2). Isolando A:
A = \frac{\dot{Q}}{U\, \Delta T_{\text{lm}}}.
Substituindo os valores:
A = \frac{300960}{600 \times 84{,}7}.
Calculemos:
600 \times 84{,}7 \approx 50820\quad\Rightarrow\quad A \approx \frac{300960}{50820} \approx 5{,}93\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Interpretação e observações finais:
  • A área necessária é cerca de 5{,}93\\ \mathrm{m}^2 com as suposições adotadas.
  • Resultado depende da escolha de c_{p,\text{o}}. Se o c_{p,\text{o}} real for maior, a queda de temperatura do óleo seria menor e a LMTD mudaria, alterando a área. Se quiser, posso recalcular com outro valor de c_{p,\text{o}}.

Resposta

A \approx 5{,}93\\ \mathrm{m}^2

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