Um tubo de aço com diâmetro nominal 1 in ( DE=1,313 in DI=1,049 in ) com a superfície externa a 400^circ F, está localizado no ar a 90^circ F, com um coeficiente convectivo de transferência de calor de 1,5 Btu / h ft^2 ^circ ^circ F entre a superfície do tubo e o ar. Propõe-se adicionar ao tubo um isolante ( k= 0,06 Btu / h ft ^circ F, de modo a reduzir a perda de calor à metade daquela do tubo sem isolante.
(a) Que espessura de isolante é necessária, se a temperatura da superfície do tubo de aço e he permanecerem constantes?
(b) Qual seria a espessura necessária do isolante para os mesmos propósitos do ítem (a) considerando que he =0,575 / De^wed>= 0,25 ?

Passo 1

Então, o problema diz que temos um tubo de aço com diâmetro externo DE = 1,313 in (DI = 1,049 in), temperatura da superfície de 400 °F e ar a 90 °F. O coeficiente de convecção externo é he = 1,5 Btu/(h·ft²·°F). Queremos envolver esse tubo em um isolante (k = 0,06 Btu/(h·ft·°F)) de modo que a perda de calor caia para a metade da perda original (sem isolante).
Conteúdo: transferência de calor por convecção e condução em cilindro (resistências térmicas em série). Vamos usar:
  • resistência de convecção: R_conv = 1/(h·A)
  • resistência de condução em casca cilíndrica: R_cond = ln(r₂/r₁)/(2πkL)
    Precisamos achar a espessura δ = r₂ – r₁ que duplica a resistência total, pois Q ∝ 1/R_total.

Passo 2

Primeiro, definimos as geometrias em pés (para ficar consistente com h em ft²):
r₁ = DE/2 = (1,313 in)/(2·12 in/ft) = 0,0547 ft.
Sem isolamento, a única resistência é a convecção:
R₀ = 1/(h·2πr₁L).
Para reduzir Q à metade, queremos R_new = 2·R₀.

Passo 3

Com he constante (=1,5 Btu/(h·ft²·°F)), as resistências em série são:
R_cond = ln(r₂/r₁)/(2πkL),
R_conv,new = 1/(h·2πr₂L).
Logo, R_cond + R_conv,new = 2·R₀ →
ln(r2/r1)2pi k L + 1h,2pi r2 L = 2h,2pi r1 L
Cancelando 2πL e reorganizando:
hk,lnr2r1 ;+;1r2 ;=;2r1
Definindo x = r₂/r₁, r₂ = x r₁, e inserindo h=1,5, k=0,06 e r₁=0,0547 ft, chegamos a
25,ln x ;+;18,278x ;=;36,56
Resolvendo numericamente dá x ≃ 3,502,
logo δ = r₂ – r₁ = (x – 1)·r₁ ≃ 2,502·0,0547 ft = 0,1368 ft ≃ 1,64 in.

Passo 4

Agora he varia conforme
he = 0.575(,De,)^0.25com De=2r2
Repetimos a mesma equação série mas com
1he,2pi r2 L =(2r2)^0.250.575,2pi r2 L ;longrightarrow; 2^0.250.575,r2^0.75,2pi L
Depois de cancelar 2πL e inserir r₂=x r₁, chegamos a
1kln x ;+;18,283x^0,75 ;=;36,56,
que, resolvida numericamente, dá x ≃ 6,93.
Portanto δ = (x – 1)·r₁ ≃ 5,93·0,0547 ft = 0,3245 ft ≃ 3,89 in.

Resposta

(a) δ ≃ 1,64 in
(b) δ ≃ 3,89 in

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