Um tubo de 1,20 m de comprimento está fechado em uma das extremidades. Perto extremidade aberta há um alto-falante alimentado por um oscilador de áudio cuja frequência pode ser variada de 10,0 a 6000 Hz.
Quantas frequências diferentes do oscilador produzirão ressonância dentro do tubo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um tubo de 1,20 metros de comprimento, fechado em uma das extremidades. Perto da extremidade aberta, tem um alto-falante conectado a um oscilador que pode variar a frequência de 10,0 Hz até 6000 Hz. A pergunta é: quantas frequências diferentes desse oscilador vão causar ressonância dentro do tubo?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ressonância em tubos fechados e como as frequências ressonantes são determinadas nesse tipo de sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um tubo fechado em uma das extremidades tem modos de ressonância que ocorrem em múltiplos ímpares da frequência fundamental. A fórmula para calcular essas frequências ressonantes é:
fn = n cdot v4L
Onde:
  • $ f_n $ é a frequência ressonante,
  • $ n $ é o número do modo ressonante (1, 3, 5, …),
  • $ v $ é a velocidade do som no ar,
  • $ L $ é o comprimento do tubo.

Passo 3

Vamos definir os valores que temos:
  • Comprimento do tubo, $ L = 1,20 , m $.
  • Velocidade do som no ar, $ v \approx 343 , m/s $ (valor aproximado).
Substituindo esses valores na fórmula:
L = 1,20 , m
Calculando o denominador:
v approx 343 , m/s
Então:
fn = n cdot 3434 times 1,20

Passo 4

Agora, queremos saber para quais valores de $ n $ a frequência $ f_n $ estará entre 10,0 Hz e 6000 Hz. Então, temos a seguinte inequação:
n
Vamos resolver para $ n $:
Primeiro, dividimos todos os lados da inequação por 71,46:
fn
Calculando os valores:
10,0 <= n cdot 71,46 <= 6000
Como $ n $ deve ser um número ímpar (1, 3, 5, …), e além disso, $ n $ deve ser inteiro, vemos que o menor valor de $ n $ é 1 e o maior valor ímpar menor ou igual a 84 é 83.

Passo 5

Agora, precisamos contar quantos números ímpares existem entre 1 e 83, inclusive.
A sequência é: 1, 3, 5, …, 83.
A fórmula para a quantidade de termos em uma sequência aritmética é:
N = an - a1d + 1
Onde:
  • $ a_n = 83 $,
  • $ a_1 = 1 $,
  • $ d = 2 $ (diferença entre os termos, já que são ímpares consecutivos).
Substituindo:
an = 83

Resposta

42 frequências diferentes do oscilador produzirão ressonância dentro do tubo.

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