O tubo
é aberto nas duas extremidades e tem um comprimento
. Queremos colocá-lo nas proximidades de três outros tubos nos quais existem ondas estacionárias para que o som produza uma onda estacionária no tubo
. Os três tubos são fechados em uma extremidade e têm comprimentos
e
. Para cada um dos tubos, qual é a ordem do harmônico capaz de excitar um harmônico no tubo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre ondas estacionárias em tubos de sons. Temos o tubo $ A $ que é aberto nas duas extremidades e tem comprimento $ L_A = 0,343 , m
B $, $ C $ e $ D $) que são fechados em uma extremidade e têm comprimentos proporcionais a $ L_A $. Nosso objetivo é descobrir qual harmônico desses tubos fechados pode encaixar e criar uma onda estacionária no tubo $ A $.
Vamos precisar entender como funcionam os harmônicos em tubos abertos e fechados e usar isso para igualar as frequências e descobrir os números dos harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como os harmônicos funcionam em cada tipo de tubo:
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Tubo aberto nas duas extremidades (como o $ A $): suporta todos os harmônicos múltiplos inteiros do fundamental. A frequência do $ n $-ésimo harmônico é dada por:onde $ n = 1, 2, 3, \dots $ e $ v $ é a velocidade do som.
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Tubo fechado em uma extremidade (como os $ B $, $ C $, $ D $): suporta apenas harmônicos ímpares. A frequência do $ m $-ésimo harmônico é:onde $ m = 1, 3, 5, \dots $ e $ L_X $ é o comprimento do tubo $ X $.
Vamos usar essas fórmulas para encontrar a correspondência entre os harmônicos dos tubos fechados e os do tubo $ A $.
Passo 3
Agora, queremos que a frequência de um harmônico do tubo fechado seja igual a de um harmônico do tubo $ A $. Ou seja, queremos:
Substituindo as fórmulas:
Como $ v $ aparece dos dois lados, podemos simplificar cancelando:
Rearranjando para relacionar $ n $ e $ m $:
Ou seja:
Passo 4
Vamos agora aplicar isso para cada tubo:
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Tubo $ B $:Substituindo na fórmula:Como o tubo fechado só tem harmônicos ímpares, $ m = 1, 3, 5, \dots $. Então, para cada $ m $, $ n = m $.
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Tubo $ C $:Substituindo:Aqui, $ n = 2m $. Mas como $ m $ é ímpar, $ n $ será par: $ n = 2, 6, 10, \dots $.
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Tubo $ D $:Substituindo:Para $ n $ ser inteiro, $ m $ precisa ser múltiplo de 4. Mas como $ m $ é ímpar (1, 3, 5, …), não há solução inteira. Portanto, nenhum harmônico de $ D $ pode excitar um harmônico no tubo $ A $.
Resposta
- Tubo $ B $: O harmônico de ordem $ m = 1 $ (fundamental) pode excitar o harmônico de ordem $ n = 1 $ no tubo $ A $.
- Tubo $ C $: O harmônico de ordem $ m = 1 $ pode excitar o harmônico de ordem $ n = 2 $ no tubo $ A $.
- Tubo $ D $: Nenhum harmônico disponível pode excitar um harmônico no tubo $ A $.