Analise as proposições a seguir:
I - Em um oscilador harmônico amortecido forçado, a solução estacionária possui uma frequència de oscilação igual a freguência natural de oscilação do sistemms
II - A amplitude no solução estacionária de um oscilador harmōnico amortecido forçado é máxima quando a intensidade da forga aplicada se iguala a amplitude naturnel de asciliação do sistema.
Estão corretas:
© Ambas sāo verdadeiras.
OAmbas sao falsas.
GApenas I é verdadeira.
- Apenas II é verdadeira.
II - A amplitude no solução estacionária de um oscilador harmōnico amortecido forçado é máxima quando a intensidade da forga aplicada se iguala a amplitude naturnel de asciliação do sistema.
© Ambas sāo verdadeiras.
OAmbas sao falsas.
GApenas I é verdadeira.
Passo 1
Enunciado: analisar as proposições abaixo e dizer quais são corretas.
I - Em um oscilador harmônico amortecido forçado, a solução estacionária possui uma frequência de oscilação igual à frequência natural de oscilação do sistema.
II - A amplitude na solução estacionária de um oscilador harmônico amortecido forçado é máxima quando a intensidade da força aplicada se iguala à amplitude natural de oscilação do sistema.
II - A amplitude na solução estacionária de um oscilador harmônico amortecido forçado é máxima quando a intensidade da força aplicada se iguala à amplitude natural de oscilação do sistema.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as duas proposições falam da solução estacionária (ou regime permanente) de um oscilador harmônico amortecido forçado e fazem afirmações sobre frequência e amplitude dessa solução. A pergunta é: quais dessas proposições são verdadeiras?
Passo 2
Modelo matemático e definições (o que aparece nas contas).
Considere o oscilador massa-mola-amortecedor forçado descrito pela equação diferencial
Considere o oscilador massa-mola-amortecedor forçado descrito pela equação diferencial
Expliquei cada símbolo:
-
é a massa do corpo. -
é o coeficiente de amortecimento (força viscosa proporcional à velocidade). -
é a constante elástica da mola. -
é a amplitude da força externa aplicada (força de excitação). -
é a frequência angular da força externa (frequência de excitação).
Definições úteis:
é a frequência angular natural do sistema (sem amortecimento, pequena oscilação livre), e
é o coeficiente de amortecimento por unidade de massa (às vezes chamado de taxa de amortecimento).
Passo 3
O que é solução estacionária (regime permanente) e qual sua forma.
A solução geral tem duas partes: a solução homogênea (transiente) que depende das condições iniciais e decai com o tempo por causa do amortecimento, e a solução particular (estacionária) que persiste no tempo e acompanha a força aplicada. No regime permanente a solução tem a mesma frequência da força aplicada; portanto a solução estacionária pode ser escrita na forma
A solução geral tem duas partes: a solução homogênea (transiente) que depende das condições iniciais e decai com o tempo por causa do amortecimento, e a solução particular (estacionária) que persiste no tempo e acompanha a força aplicada. No regime permanente a solução tem a mesma frequência da força aplicada; portanto a solução estacionária pode ser escrita na forma
onde
é a amplitude dependente da frequência de excitação
, e
é a defasagem entre a resposta e a força.
Passo 4
Cálculo da amplitude da solução estacionária (derivação passo a passo curta, mas completa).
Uma maneira prática é usar ansatz . Derivando e substituindo em
e igualando coeficientes de
e
, chega-se (após álgebra) à amplitude resultante
Uma maneira prática é usar ansatz
Aqui expliquei:
- O numerador
vem de dividir a força pelo termo em para colocar tudo em aceleração; é proporcional a (se dobra, dobra para mesma ). - O denominador
determina como a amplitude varia com a frequência de excitação e com o amortecimento .
Passo 5
Análise da proposição I usando a fórmula: onde aparece a frequência da solução estacionária?
Da forma vemos claramente que a solução estacionária oscila com a frequência angular
da força externa. A frequência natural
aparece apenas na expressão de
e em quantidades relacionadas ao comportamento transitório. Ou seja:
Da forma
- A solução transitória contém termos com frequência próxima de
(por exemplo com ), mas esses termos decaem com o tempo. - A solução estacionária (regime permanente) tem exatamente a frequência da força excitadora
, não necessariamente .
Portanto a proposição I é falsa.
Passo 6
Análise da proposição II: o que determina a amplitude máxima?
A amplitude como função de
(para
fixo) apresenta um máximo em uma frequência chamada frequência de ressonância
. Para encontrar essa
fazemos derivação: maximizar
é equivalente a minimizar o quadrado do denominador
A amplitude
Derivando
em relação a
, igualando a zero e resolvendo (faço as contas principais):
Dividindo por
e reorganizando:
Se
podemos dividir por
:
Logo, para o caso subamortecido (quando
) a frequência de pico é
que é menor que
quando há amortecimento. No caso sem amortecimento ideal (
) a máxima ocorre em
e a amplitude tende a crescer sem limite (no modelo linear ideal). Observações importantes:
- A amplitude máxima é determinada pela frequência de excitação
que faz o denominador mínimo; não é determinada por igualar a intensidade da força a alguma “amplitude natural”. - Além disso, para amplitude fixa
, é proporcional a : se altero a curva de escala verticalmente, mas o local do máximo em é dado por acima (depende de e , não de ).
Portanto a proposição II, que afirma que a amplitude estacionária é máxima quando “a intensidade da força aplicada se iguala à amplitude natural do sistema”, está incorreta: o máximo ocorre por ajuste da frequência de excitação (ressonância), não por igualar magnitudese alguma “amplitude natural”.
Passo 7
Resumo final e motivação didática curta (para lembrar na prova).
- Regra prática 1: a resposta em regime permanente tem sempre a frequência da excitação; o natural do sistema aparece só nos transitórios e na dependência da amplitude.
- Regra prática 2: a ressonância (máxima amplitude) ocorre quando a frequência de excitação coincide com a frequência de ressonância
dada por (se pequeno, isso fica perto de ). A amplitude máxima não é obtida por igualar a intensidade da força a alguma “amplitude natural”.
Resposta
Ambas são falsas.