Analise as proposições a seguir:
I - Em um oscilador harmônico amortecido forçado, a solução estacionária possui uma frequència de oscilação igual a freguência natural de oscilação do sistemms
II - A amplitude no solução estacionária de um oscilador harmōnico amortecido forçado é máxima quando a intensidade da forga aplicada se iguala a amplitude naturnel de asciliação do sistema.
Estão corretas:
© Ambas sāo verdadeiras.
OAmbas sao falsas.
GApenas I é verdadeira.
  • Apenas II é verdadeira.

Passo 1

Enunciado: analisar as proposições abaixo e dizer quais são corretas.
I - Em um oscilador harmônico amortecido forçado, a solução estacionária possui uma frequência de oscilação igual à frequência natural de oscilação do sistema.
II - A amplitude na solução estacionária de um oscilador harmônico amortecido forçado é máxima quando a intensidade da força aplicada se iguala à amplitude natural de oscilação do sistema.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as duas proposições falam da solução estacionária (ou regime permanente) de um oscilador harmônico amortecido forçado e fazem afirmações sobre frequência e amplitude dessa solução. A pergunta é: quais dessas proposições são verdadeiras?

Passo 2

Modelo matemático e definições (o que aparece nas contas).
Considere o oscilador massa-mola-amortecedor forçado descrito pela equação diferencial
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t).
Expliquei cada símbolo:
  • m é a massa do corpo.
  • c é o coeficiente de amortecimento (força viscosa proporcional à velocidade).
  • k é a constante elástica da mola.
  • F_0 é a amplitude da força externa aplicada (força de excitação).
  • \omega é a frequência angular da força externa (frequência de excitação).
    Definições úteis:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
é a frequência angular natural do sistema (sem amortecimento, pequena oscilação livre), e
\gamma = \frac{c}{2m}
é o coeficiente de amortecimento por unidade de massa (às vezes chamado de taxa de amortecimento).

Passo 3

O que é solução estacionária (regime permanente) e qual sua forma.
A solução geral tem duas partes: a solução homogênea (transiente) que depende das condições iniciais e decai com o tempo por causa do amortecimento, e a solução particular (estacionária) que persiste no tempo e acompanha a força aplicada. No regime permanente a solução tem a mesma frequência da força aplicada; portanto a solução estacionária pode ser escrita na forma
x_p(t)=A(\omega)\cos(\omega t-\varphi(\omega)),
onde A(\omega) é a amplitude dependente da frequência de excitação \omega, e \varphi(\omega) é a defasagem entre a resposta e a força.

Passo 4

Cálculo da amplitude da solução estacionária (derivação passo a passo curta, mas completa).
Uma maneira prática é usar ansatz x_p(t)=X\cos(\omega t)+Y\sin(\omega t). Derivando e substituindo em m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos(\omega t) e igualando coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t), chega-se (após álgebra) à amplitude resultante
A(\omega)=\sqrt{X^2+Y^2}=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2}}.
Aqui expliquei:
  • O numerador F_0/m vem de dividir a força pelo termo em m para colocar tudo em aceleração; é proporcional a F_0 (se F_0 dobra, A dobra para mesma \omega).
  • O denominador \sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2} determina como a amplitude varia com a frequência de excitação \omega e com o amortecimento \gamma.

Passo 5

Análise da proposição I usando a fórmula: onde aparece a frequência da solução estacionária?
Da forma x_p(t)=A(\omega)\cos(\omega t-\varphi(\omega)) vemos claramente que a solução estacionária oscila com a frequência angular \omega da força externa. A frequência natural \omega_0 aparece apenas na expressão de A(\omega) e em quantidades relacionadas ao comportamento transitório. Ou seja:
  • A solução transitória contém termos com frequência próxima de \omega_0 (por exemplo \mathrm{e}^{-\gamma t}\cos(\omega_d t) com \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}), mas esses termos decaem com o tempo.
  • A solução estacionária (regime permanente) tem exatamente a frequência da força excitadora \omega, não necessariamente \omega_0.
    Portanto a proposição I é falsa.

Passo 6

Análise da proposição II: o que determina a amplitude máxima?
A amplitude A(\omega) como função de \omega (para F_0 fixo) apresenta um máximo em uma frequência chamada frequência de ressonância \omega_{\text{res}}. Para encontrar essa \omega_{\text{res}} fazemos derivação: maximizar A(\omega) é equivalente a minimizar o quadrado do denominador
D(\omega)=(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2.
Derivando D(\omega) em relação a \omega, igualando a zero e resolvendo (faço as contas principais):
\frac{dD}{d\omega} = 2(\omega_0^2-\omega^2)(-2\omega) + 2(2\gamma\omega)(2\gamma) = 0.
Dividindo por 2 e reorganizando:
-2\omega(\omega_0^2-\omega^2) + 4\gamma^2\omega = 0.
Se \omega\neq 0 podemos dividir por \omega:
-2(\omega_0^2-\omega^2) + 4\gamma^2 = 0.
-2\omega_0^2 +2\omega^2 +4\gamma^2 = 0.
\omega^2 = \omega_0^2 - 2\gamma^2.
Logo, para o caso subamortecido (quando \omega_0^2>2\gamma^2) a frequência de pico é
\omega_{\text{res}} = \sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2},
que é menor que \omega_0 quando há amortecimento. No caso sem amortecimento ideal ( \gamma=0) a máxima ocorre em \omega=\omega_0 e a amplitude tende a crescer sem limite (no modelo linear ideal). Observações importantes:
  • A amplitude máxima é determinada pela frequência de excitação \omega que faz o denominador mínimo; não é determinada por igualar a intensidade da força a alguma “amplitude natural”.
  • Além disso, para amplitude fixa F_0, A(\omega) é proporcional a F_0: se altero F_0 a curva de A(\omega) escala verticalmente, mas o local do máximo em \omega é dado por \omega_{\text{res}} acima (depende de \omega_0 e \gamma, não de F_0).
    Portanto a proposição II, que afirma que a amplitude estacionária é máxima quando “a intensidade da força aplicada se iguala à amplitude natural do sistema”, está incorreta: o máximo ocorre por ajuste da frequência de excitação (ressonância), não por igualar magnitudes F_0 e alguma “amplitude natural”.

Passo 7

Resumo final e motivação didática curta (para lembrar na prova).
  • Regra prática 1: a resposta em regime permanente tem sempre a frequência da excitação; o natural do sistema aparece só nos transitórios e na dependência da amplitude.
  • Regra prática 2: a ressonância (máxima amplitude) ocorre quando a frequência de excitação coincide com a frequência de ressonância \omega_{\text{res}} dada por \sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2} (se \gamma pequeno, isso fica perto de \omega_0). A amplitude máxima não é obtida por igualar a intensidade da força a alguma “amplitude natural”.

Resposta

Ambas são falsas.

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