Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}=0, y=\ln \left|x+c_{1}\right|+c_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = \ln\bigl\lvert x + c_{1}\bigr\rvert + c_{2}
satisfaz a equação diferencial
y'' - \bigl(y'\bigr)^{2} = 0.
Para isso, vamos calcular y' e y'' e em seguida substituir na equação.

Passo 2

Derivando
y = \ln\bigl\lvert x + c_{1}\bigr\rvert + c_{2},
temos
y' = \frac{d}{dx}\ln\bigl\lvert x + c_{1}\bigr\rvert = \frac{1}{x + c_{1}}.

Passo 3

Derivando novamente y', obtém-se
y'' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x + c_{1}}\Bigr) = -\,\frac{1}{(x + c_{1})^{2}}.

Passo 4

Substituindo em
y'' - \bigl(y'\bigr)^{2},
temos
y'' - \bigl(y'\bigr)^{2} = -\frac{1}{(x + c_{1})^{2}} - \Bigl(\frac{1}{x + c_{1}}\Bigr)^{2} = -\frac{1}{(x + c_{1})^{2}} - \frac{1}{(x + c_{1})^{2}} = -\frac{2}{(x + c_{1})^{2}},
que em geral é diferente de zero.

Resposta

A função dada não satisfaz a equação diferencial y'' - (y')^{2} = 0, pois a substituição produz -2/(x+c_{1})^{2}\neq0.

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