Num tubo de acrílico tem-se escoamento turbulento de água horizontalmente a uma vazão de 4.10^{-2} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O tubo possui 10 cm de diâmetro, e o gradiente de pressão no escoamento é de 2,59 \mathrm{kPa} / \mathrm{m}. Utilizando a 1^{\mathrm{a}}. distribuição para o perfil de velocidades, determinar: (a) a espessura da subcamada viscosa, e o tipo de parede, (b) a velocidade do escoamento no eixo de simetria do tubo. Supor todas as hipóteses utilizadas no escoamento turbulento. Dados: \gamma_{\mathrm{a}}=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}, v_{\mathrm{a}}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado trata de escoamento turbulento de água em um tubo horizontal de diâmetro D=0{,}10\\ \mathrm{m}, com vazão Q=4\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3/s} e gradiente de pressão \bigl|\frac{d p}{d x}\bigr|=2{,}59\times10^3\\ \mathrm{Pa/m}. Dados físicos: densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade cinemática \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Conteúdos usados: balanço de forças para achar a tensão de cisalhamento na parede, definição de velocidade de atrito u_*=\sqrt{\tau_w/\rho}, espessura da subcamada viscosa \delta_\nu=5\,\nu/u_* e perfil “ 1/ 7-law” para turbulento liso, que diz
\frac{u(r)}{U_{\max}} = \Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^{1/7},
com R=D/2, e a relação
\frac{U_{\max}}{U_{\rm m}} = \frac{2n+1}{2n}\quad(n=7).

Passo 2

Determinar a tensão de cisalhamento na parede. Em escoamento plenamente desenvolvido em tubo
\tau_w = \frac{D}{4}\,\Bigl|\frac{d p}{d x}\Bigr|
Substituindo
\tau_w = \frac{0{,}10}{4}\times2{,}59\times10^3 = 64{,}75\\ \mathrm{Pa}.
A velocidade de atrito é
u_* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}} = \sqrt{\frac{64{,}75}{1000}} \approx 0{,}2545\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a espessura da subcamada viscosa, sabendo que na parte viscosa u^+ = y^+, e que a zona linear vai até y^+\approx5:
\delta_\nu = y^+_{\max}\,\frac{\nu}{u_*} =5\,\frac{1{,}0\times10^{-6}}{0{,}2545} \approx1{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Como a subcamada tem espessura da ordem de 2\times10^{-5} m e o acrílico é lisa (rugosidade típica micrométrica), o escoamento se dá em parede hidraulicamente lisa.

Passo 4

Determinar a velocidade média
U_{\rm m} = \frac{Q}{A} = \frac{4\times10^{-2}}{\pi\,(0,10)^2/4} \approx5,093\\ \mathrm{m/s}.
Usando o perfil 1/7-law com n=7, tem– se
\frac{U_{\max}}{U_{\rm m}} = \frac{2n+1}{2n} = \frac{15}{14} \approx1,0714,
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U_{\max} = 1,0714\times5,093 \approx5,46\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \delta_\nu\approx1,96\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, parede hidraulicamente lisa.
(b) Velocidade no eixo U_{\max}\approx5,46\\ \mathrm{m/s}.

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