Em uma indústria de alimentos, mostarda a 30^{\circ} \mathrm{C} deve ser transportada a uma vazăo constante de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de um setor de produção ao nivel do solo à um tanque de armazenamento intermediário, que fica 12 m acima do solo. A tubulação apresenta diâmetro constante de 2,5 \mathrm{in}, e comprimento equivalente de 32 m . Se no setor de produção, a linha estấ a uma pressão manométrica de 30 \mathrm{kPa}, \mathrm{e} o tanque de armazenamento é mantido a pressåo atmosférica. Despreze os efeitos da variação de energia cinética. Determine:
a) Regime de escoamento.
b) Fator de atrito de Fanning.
c) Potência necessária da bomba, se nesta vazão, ela opera com eficiência de 67 \%,

Passo 1

O enunciado trata do transporte de mostarda (temperatura 30^\circ\mathrm{C}) numa tubulação de diâmetro constante D=2{,}5 in ( =0,0635 m), comprimento equivalente L=32 m, vazão volumétrica constante Q=10 L/s e desnível 12 m. No ponto de sucção a pressão manométrica é 30 kPa e a descarga é à pressão atmosférica. Vamos:
  1. Calcular a velocidade média e o número de Reynolds para classificar o regime de escoamento.
  2. Estimar o fator de atrito de Fanning usando correlação de Blasius.
  3. Determinar a potência hidráulica exigida e a potência da bomba considerando eficiência \eta=67\%.

Passo 2

Converter Q e calcular a velocidade média.
Q = 10\;\mathrm{L/s} = 0,01\;\mathrm{m^3/s}.
A área da seção reta é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0,0635)^2}{4} \approx 3,17\times 10^{-3}\;\mathrm{m^2}.
Logo, a velocidade média é
v = \frac{Q}{A} \approx \frac{0,01}{3,17\times 10^{-3}} \approx 3,16\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}. Para mostarda a 30^\circ\mathrm{C} usamos valores aproximados da água:
\rho=995{,}7\;\mathrm{kg/m^3}, \mu=0,798\times 10^{-3}\;\mathrm{Pa\cdot s}.
\mathrm{Re} = \frac{995{,}7 \times 3,16 \times 0,0635}{0,798\times 10^{-3}} \approx 2,5\times 10^{5}.

Passo 4

Como \mathrm{Re}\approx 2,5\times 10^5 \gg 4000, o escoamento é turbulento totalmente desenvolvido.

Passo 5

Para escoamento turbulento suave, usamos a correlação de Blasius (válida para 10^4<\mathrm{Re}<10^6) para o fator de Fanning:
f_F = 0,0791\,\mathrm{Re}^{-0,25} = 0,0791\,(2,5\times 10^5)^{-0,25} \approx 0,0035.

Passo 6

Calcular a perda de carga por atrito e a altura manométrica total. A perda de carga (Darcy–Weisbach) é
h_f = 4\,f_F\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} =4\times0,0035\times\frac{32}{0,0635}\times\frac{(3,16)^2}{2\times9,81} \approx 3,63\;\mathrm{m}.
A altura total que a bomba deve vencer é
H = \Delta z + h_f = 12 + 3,63 = 15,63\;\mathrm{m}.
A potência hidráulica é
P_h = \rho\,g\,Q\,H =995{,}7\times9,81\times0,01\times15,63 \approx 1{,}53\;\mathrm{kW}.

Passo 7

Considerando eficiência \eta=0{,}67, a potência de eixo da bomba é
P_b = \frac{P_h}{\eta} = \frac{1,53}{0,67} \approx 2,28\;\mathrm{kW}.

Resposta

a) Regime de escoamento: turbulento ( \mathrm{Re}\approx2,5\times10^5).
b) Fator de atrito de Fanning: f_F\approx0,0035.
c) Potência da bomba: P_b\approx2{,}28\;\mathrm{kW}.

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